奇异值和特征值
2014-03-11 16:46
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特征值:一矩阵A作用与一向量a,结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa,则a为该矩阵A的特征向量,λ为该矩阵A的特征值。
奇异值:设A为m*n阶矩阵,AHA的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为σi(A)
关系
对于对称矩阵和 Hermite 矩阵而言,
一个非负的特征值也是一个奇异值,相应的特征向量是相应的左右奇异向量。
几何意义
奇异值:对任意m×n阶距阵A做分解之后得到两个正交距阵U,V和一个广义对角阵(其中的对角元素就是奇异值),有了这样一个简单的描述后,对任意向量x,
对应的变换Ax就可以用A分解后的三个距阵来计算了。这样的话,对于v阵的任一个元素Vi,经过变换AVi就可以得到唯一的一个Uiσi,这样就有了大家都知道的几何意义:当A是方阵时,其奇异值的几何意义是:若X是n维单位球面上的一点,则Ax是一个n维椭球面上的点,其中椭球的n个半轴长正好是A的n个奇异值。简单地说,在二维情况下,A将单位圆变成了椭圆,A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴。
特征值:一矩阵A作用与一向量a,结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa,则a为该矩阵A的特征向量,λ为该矩阵A的特征值。
奇异值:设A为m*n阶矩阵,AHA的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为σi(A)
关系
对于对称矩阵和 Hermite 矩阵而言,
一个非负的特征值也是一个奇异值,相应的特征向量是相应的左右奇异向量。
几何意义
奇异值:对任意m×n阶距阵A做分解之后得到两个正交距阵U,V和一个广义对角阵(其中的对角元素就是奇异值),有了这样一个简单的描述后,对任意向量x,
对应的变换Ax就可以用A分解后的三个距阵来计算了。这样的话,对于v阵的任一个元素Vi,经过变换AVi就可以得到唯一的一个Uiσi,这样就有了大家都知道的几何意义:当A是方阵时,其奇异值的几何意义是:若X是n维单位球面上的一点,则Ax是一个n维椭球面上的点,其中椭球的n个半轴长正好是A的n个奇异值。简单地说,在二维情况下,A将单位圆变成了椭圆,A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴。
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