【NOI2012】美食节

【NOI2012】美食节

【题目描述】

CZ市为了欢迎全国各地的同学，特地举办了一场盛大的美食节。作为一个喜欢尝鲜的美食客，小M自然不愿意错过这场盛宴。他很快就尝遍了美食节所有的美食。然而，尝鲜的欲望是难以满足的。尽管所有的菜品都很可口，厨师做菜的速度也很快，小M仍然觉得自己桌上没有已经摆在别人餐桌上的美食是一件无法忍受的事情。于是小M开始研究起了做菜顺序的问题，即安排一个做菜的顺序使得同学们的等待时间最短。小M发现，美食节共有n种不同的菜品。每次点餐，每个同学可以选择其中的一个菜品。总共有m个厨师来制作这些菜品。当所有的同学点餐结束后，菜品的制作任务就会分配给每个厨师。然后每个厨师就会同时开始做菜。厨师们会按照要求的顺序进行制作，并且每次只能制作一人份。此外，小M还发现了另一件有意思的事情:
虽然这m个厨师都会制作全部的n种菜品，但对于同一菜品，不同厨师的制作时间未必相同。他将菜品用1, 2, ..., n依次编号，厨师用1, 2, ..., m依次编号，将第j个厨师制作第i种菜品的时间记为 ti,j 。小M认为：每个同学的等待时间为所有厨师开始做菜起，到自己那份菜品完成为止的时间总长度。换句话说，如果一个同学点的菜是某个厨师做的第k道菜，则他的等待时间就是这个厨师制作前k道菜的时间之和。而总等待时间为所有同学的等待时间之和。现在，小M找到了所有同学的点菜信息: 有 pi 个同学点了第i种菜品（i=1,
2, ..., n）。他想知道的是最小的总等待时间是多少。

【输入】

输入文件的第1行包含两个正整数n和m，表示菜品的种数和厨师的数量。 第2行包含n个正整数，其中第i个数为pi，表示点第i种菜品的人数。 接下来有n行，每行包含m个非负整数，这n行中的第i行的第j个数为ti,j，表示第j个厨师制作第i种菜品所需的时间。 输入文件中每行相邻的两个数之间均由一个空格隔开，行末均没有多余空格。

【输出】

输出仅一行包含一个整数，为总等待时间的最小值。

【输入样例】

3 2 

3 1 1 

5 7 

3 6 

8 9

【输出样例】

47

【数据范围】

对于100%的数据，n <= 40, m <= 100, p <= 800, ti,j <= 1000（其中p = ∑pi，即点菜同学的总人数）。

每组数据的n、m和p值如下：

测试点编号 n         m         p 
1       n = 5     m = 5     p = 10 

2       n = 40    m = 1     p = 400 

3       n = 40    m = 2     p = 300 

4       n = 40    m = 40    p = 40 

5       n = 5     m = 40    p = 100 

6       n = 10    m = 50    p = 200 

7       n = 20    m = 60    p = 400 

8       n = 40    m = 80    p = 600 

9       n = 40    m = 100   p = 800 

10      n = 40    m = 100   p = 800 

【题解】

一道费用流的题目，基本模型容易建立。

考虑第i个厨师做第j道菜，且这道菜编号为k时创造的等待时间，为j*t[k，i]，以此为基础建立基本模型。虚拟一个源点与所有菜品相连，容量为pi，费用为0。再虚拟一个汇点与所有厨师点相连，容量为1，费用为0。

现在来考虑厨师点的问题。如果一开始把每个厨师拆分成p个点，势必会浪费大部分空间，而且会华丽的TLE，所以必须采用动态加点的方式：初始化时只建立厨师做自己第1道菜的点，每一次增广时把这条路上与汇点相连的厨师点做的菜增加1，然后在此基础上新加入1个点。

特别注意：

①必须是新加入点，不能直接修改原图，否则会破坏反向边；

②虽然数据必须邻接表储存，但新加一个点和连接相关的边不要借助平行边偷懒，本蒟蒻因为各种想少敲代码，结果各种WA……

【代码】

SPFA+SLF，速度蛮快的~