题目1527：首尾相连数组的最大子数组和

本文为经典动态规划问题，数组的最大序列和和的延伸。第一次看见这个题，用了端点枚举的方法，复杂度为0(n^2)。超时严重。参考九度Online Judge_1527: 首尾相连数组的最大子数组和

这篇文章才明白O(n)的算法。

题目描述：
给定一个由N个整数元素组成的数组arr，数组中有正数也有负数，这个数组不是一般的数组，其首尾是相连的。数组中一个或多个连续元素可以组成一个子数组，其中存在这样的子数组arr[i],…arr[n-1],arr[0],…,arr[j]，现在请你这个ACM_Lover用一个最高效的方法帮忙找出所有连续子数组和的最大值（如果数组中的元素全部为负数，则最大和为0，即一个也没有选）。
输入：
输入包含多个测试用例，每个测试用例共有两行，第一行是一个整数n（1=<n<=100000），表示数组的长度，第二行依次输入n个整数（整数绝对值不大于1000）。
输出：
对于每个测试用例，请输出子数组和的最大值。
样例输入：
6
1 -2 3 5 -1 2
5
6 -1 5 4 -7
样例输出：
10
14
题目源地址：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1527

该题需要证明：对于首尾相连的数组，划去其最大子数组和包含的数组元素，剩下的子数组必然是最小子数组和。可用反证法证明：

假设对于数组list[1...n]，剩下的子数组不是最小子数组和。

由于数组是首尾相连的，我们必然可以假设S1[1...i]为剩下的子数组，S2[i+1...n]为最大子数组。(S1和S2可代表子数组和的含义)。

case1:S1>=0，则S1+S2为最大子数组和，与条件冲突。

case2:S1<0，但不是最小子数组和序列。假设Sx为最小子数组和序列。

　　　　1）如果S2包含Sx，则S2必然不等于Sx。可将S2分为三部分。S2[i+1...n] = Sl[i+1...j] + Sx[j+1...k] + Sr[k+1...n].那么由于Sx < S1.则重新组合。Sr + S1 + Sl > Sl + Sx + Sr = S2.与条件矛盾。

　　　　2）如果S1包含Sx.但不等于Sx可以将S1分为三部分。S1[1..i] = Sl[1..j] + Sx[j+1...k] + Sr[k+1...i]。那么由于Sx < S1.所以Sl+Sr = S1-Sx > 0.重新组合，则Sr + S2 + Sl > S2..与条件矛盾。

　　　　3)如果Sx横跨S1和S2.那么可以将S1和S2分别分为两部分。Sl[1...j], Sm[j+1...i], Sn[i+1...k], Sr[k+1...n].且S1= Sl + Sm;S2 = Sn +Sr;Sx = Sm +Sn..由于Sx < S1,所以Sm < Sl.那么重新排列组合后Sr + Sl > Sr + Sm。与条件矛盾。

综上所述，结论得证。

所以我们只需讨论两者情况：　1）在首尾不相连的数组中，最大子数组和max.

　　　　　　　　　　　　　　2)在首尾相连的数组中，求最大子数组和，可以先求首尾不相连的数组中，最小子数组和min。然后Sum - min即为最大子数组和。

结果即为max和Sum - min中较大者。

AC代码：

#include <stdio.h>

int main()
{
int n;
int list[100010];
int max, min, sumMax, sumMin;
int total;
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
scanf("%d", &list[0]);
max = sumMax = list[0] > 0 ? list[0] : 0;
min = sumMin = list[0] < 0 ? list[0] : 0;
total = list[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
scanf("%d", &list[i]);
if(sumMax > 0)
sumMax += list[i];
else
sumMax = list[i];
if(sumMin < 0)
sumMin += list[i];
else
sumMin = list[i];
max = sumMax > max ? sumMax : max;
min = sumMin < min ? sumMin : min;
total += list[i];
}
int tmp = total - min;
printf("%d\n", max > tmp ? max : tmp);
}
return 0;
}
/**************************************************************
Problem: 1527
User: Qinger
Language: C++
Result: Accepted
Time:70 ms
Memory:1340 kb
****************************************************************/

　　　　　　　　　　　　　

在九度论坛上，鬼M给出的是O（nlogn）的算法。。因为对线段树不太了解。所以先放在这里，有时间再看（希望如此）：

题目1：首尾相连数组的最大子数组和
这个题目在之前的最大子段和的基础上扩展了一下，而且数据范围又比较大，不能通过枚举端点来实现题目要求的复杂度。
对于这种循环的问题比较常见的一种方法是把这个数组扩大一倍。
设原来的数组是a[],下标从1开始，为了方便设a[0]=0。
sum[0]=0;
sum [ i ]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a [ i ]   (for each 1<=i<=2*n)
然后我们求出以i为结尾的最大子段和。这个要从前面找一个j,使得sum [ i ] -sum[j]最大，而且i-j<=n,即要求最多只能有n个连续的数字
也就是从区间[i-j,i-1]里面找一个sum的最小值，这个可以用线段树来实现。
因此，这题可以用nlogn的复杂度解决了。当然此题还有其它的解法。有o(n)的，大家可以自行百度。

线段树：http://dongxicheng.org/structure/segment-tree/

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int MAX=110000*2;

int sum[MAX];
struct Q
{
int id,v;
}q[MAX];
int front;
int rear;
void push(int id,int v)
{
rear++;
q[rear].id=id;
q[rear].v=v;
while(rear-1>=front&&q[rear-1].v>q[rear].v)
{
rear--;
q[rear]=q[rear+1];
}
}
int query(int id)
{
while(front<=rear&&q[front].id<id)
{
front++;
}
if(front>rear)return 0;
return q[front].v;
}
int main()
{
int n;
int i;
int CS=1;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
sum[0]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&sum[i]);
sum[i+n]=sum[i];
}
for(i=1;i<=2*n;i++)sum[i]+=sum[i-1];
rear=-1;
front=0;
push(0,0);
int ans=0;
for(i=1;i<=2*n;i++)
{
int tmp=sum[i]-query(i-n+1);
if(tmp>ans)ans=tmp;
push(i,sum[i]);

}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}

/**************************************************************
Problem: 1527
User: 鬼M
Language: C++
Result: Accepted
Time:70 ms
Memory:3600 kb
****************************************************************/