2014寒假ACM集训13级PK赛-最佳拟合直线
2014-03-09 21:48
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最佳拟合直线
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题目描述
在很多情况下,天文观测得到的数据是一组包含很大数量的序列点图象,每一点用x值和y值定义。这就可能需要画一条通过这些点的最佳拟合曲线。为了避免只对个别数据分析,需要进行最佳曲线拟合。考虑N个数据点,它们的坐标是(X1,Y1),(X2,Y2)...,(XN,YN)。假设这些值中的X是严格的精确值,Y的值是测量值(含有一些误差)。
对于一个给定的X,如X1,对应的值Y1与曲线C上对应的Y值将存在一个差值。我们用D1表示这个差值,有时我们也称这个差值为偏差、误差或残差,它可能是正、负或零。类似的,X2...,XN,对应的差值为D2,....,DN。
我们用D12 +
D22 + ... + DN2 作为衡量曲线C拟合的“最佳”程度,这个值越小越好,越大则越不好。因此,我们做以下定义:任何一种类型的曲线,它们都有一个共同的特性,当ΣDi2最小时,称为最佳拟合曲线。注:∑指“取和”计算。
一条曲线具有这一特性时,称之为“最小二乘拟合”,这样的曲线称为“最小二乘曲线”。
本次的计算任务是拟合为一条直线,数学上称之为“线性回归”。“回归”一词看起来有点陌生,因为计算最佳曲线没什么好“回归”的,最好的术语就是“曲线似合”,在直线情况下就是“线性曲线拟合”。
你的任务是编写程序用最小二乘法计算出以下线性方程的系数(斜率a以及y轴的截距b):
y = a*x + b (4.1)
a和b可以使用以下公式计算:
式中N是数据点的个数。注意,以上两式具有相同的分母,∑指逐项加法计算(取和)。∑x指对所有的x值求和,∑y指对所以的y值求和,∑(x^2)指对所有x的平方求和。∑xy指对所有的积xy进行取和计算。应注意,∑xy 与 ∑x*∑y是不相同的(“积的和”与“和的积”是不同的),同样(∑x)^2与∑(x^2)也是不相同的(“和的平方”与“平方的和”是不相同的)。
输入
n组整数表示xi,yi ,期中|x|<=106,|y|<=106,n < 15
输出
最佳拟合曲线参数a和b,a和b各占一行,a 和b精确到小数点后3位。示例输入
4 1 6 2 5 3 7 4 10
示例输出
1.400 3.500
提示
来源
中国海洋大学第四届朗讯杯初级组#include <stdio.h> #include <string.h> #include <math.h> int main() { int n,i; long long hxy = 0,hx = 0,hy = 0,hx2 = 0; scanf ("%d",&n); for (i = 0;i < n;i++) { int x,y; scanf ("%d%d",&x,&y); hxy += x * y; hx += x; hy += y; hx2 += x * x; } long long fm = n * hx2 - (hx * hx); long long fza = n * hxy - (hx * hy); long long fzb = hy * hx2 - hx * hxy; printf ("%.3lf\n%.3lf\n",(double)fza/fm,(double)fzb/fm); return 0; }
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