n个不同数所有可能的出栈顺序及其引出的卡特兰数（catalan）

近日在复习数据结构，看到栈的时候，发现1个元素进栈，有1种出栈顺序；2个元素进栈，有2种出栈顺序；3个元素进栈，有5种出栈顺序，那么一个很自然地问题就是n个元素进栈，共有多少种出栈顺序？

说来惭愧，以前学数据结构的时候竟然没有考虑过这个问题。最近在看动态规划，所以“子问题”这3个字一直在我脑中徘徊，于是解决这个问题的时候我也是用类似“子问题”的方法，说白了就是递推公式。

我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

f(1) = 1 //即 1

f(2) = 2
//即 12、21

f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：

1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)， 根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) *>

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) =>

f(n) =>

代码如下：
[code]#include <iostream>
#define N 20
using namespace std;

int main()
{
//递归公式求卡特兰数列
int catalan
;
catalan[0]=1;
for (int i=1;i<N;++i)
{
catalan[i]=0;
for (int j=0;j<=i-1;++j)
{
catalan[i]+=catalan[j]*catalan[i-j-1];
}
}

for (int k=0;k<N;++k)
{
cout<<catalan[k]<<"\t";
}
cout<<endl;
}

运行结果：
1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796

58786 208012 742900 2674440 9694845 35357670 129644790 477638700

1767263190

请按任意键继续. . .

PS：

1、抽象出子问题后，使用动态规划“子问题”的分析方法值得借鉴

2、f(n)递推公式的复杂度为O(n2)，卡特兰数列存在组合公式，计算复杂度为O(1)

3、数列呈指数规模增长

3、卡特兰数列的诸多应用，如矩阵链乘中的括号化问题，n个节点可以组成二叉树的种类，凸多边形划分三角形分法问题等等