取石子（五）(nyoj 358)

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斐波那契博弈（Fibonacci Nim）

有一堆个数为n(n>=2)的石子，游戏双方轮流取石子，规则如下：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1颗；

2)之后每次可以取的石子数至少为1，至多为对手刚取的石子数的2倍。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

结论：当n为Fibonacci数的时候，必败。

f[i]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……

当n不是Fibonacci数的时候，借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

分解的时候，要取尽量大的Fibonacci数。

比如分解85：85在55和89之间，于是可以写成85=55+30，然后继续分解30,30在21和34之间，所以可以写成30=21+9，

依此类推，最后分解成85=55+21+8+1。

则我们可以把n写成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。由于各个f之间不连续，则a(p-1) > ap + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。

#include <stdio.h>

long long a[100];

int main (void)
{
int i;
a[0] = 0;
a[1] = 1;
for(i = 2; i < 100; i++)
{
a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];
//printf("%lld\n", a[i]);
}

long long n;
while(scanf("%lld", &n) != EOF)
{
int f = 0;
for(i = 2; i < 100; i ++)
{
if(a[i] == n)
{
f = 1;
printf("No\n");
break;
}
}
if(f == 0)
printf("Yes\n");
}
return 0;
}