学校1006: Joseph的大M问题
2014-03-08 09:37
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Description
经典的Joseph问题。有n个人围成一个圈,从1到n编号。从1号开始报数,报到m的出列,然后接着从1开始报数。求最后剩下的那个人的编号。
Input
第一行为一个正整数,表示有多少组测试数据。每组测试数据有两个数n和m。(n<10^4,m<10^9)
Output
每组数据对应一行输出,代表最终留下的那个人的编号。
Sample Input
3
5 2
10 2
9999 999999999
Sample Output
3
5
3527
方法一:用队列来做,把第一位移到最后一位,报数的后一位为第一位,反复进行,缺陷在于大数据时,数组会不够大,wa了。
方法二:数学方法
写完密码约瑟夫就想到原来看到约瑟夫问题的一个数学解法 很巧妙很简单
不过只能推出最后一个出列的人
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1) mod n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m mod n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f
递推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f
+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单。
经典的Joseph问题。有n个人围成一个圈,从1到n编号。从1号开始报数,报到m的出列,然后接着从1开始报数。求最后剩下的那个人的编号。
Input
第一行为一个正整数,表示有多少组测试数据。每组测试数据有两个数n和m。(n<10^4,m<10^9)
Output
每组数据对应一行输出,代表最终留下的那个人的编号。
Sample Input
3
5 2
10 2
9999 999999999
Sample Output
3
5
3527
方法一:用队列来做,把第一位移到最后一位,报数的后一位为第一位,反复进行,缺陷在于大数据时,数组会不够大,wa了。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define N 300000 int a ; int main() { long m; long t,n,i,j,front,rear; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%ld%ld",&n,&m); for(i=0; i<n; i++) a[i]=i+1; front=0; rear=n; while(front!=(rear-1)) { for(j=0; j<m-1; j++) a[rear+j]=a[front+j]; front+=m; rear+=m-1; } printf("%d\n",a[front]); } return 0; }
方法二:数学方法
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main( void ) { long n, m, i, s; int t; scanf("%d",&t); while(t--) { s=0; scanf("%d%d", &n, &m); for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i; printf ("%d\n", s+1); } return 0 ; }来源 http://baike.baidu.com/link?url=ACc8ktpw11fI7wEuLSFbLZtZOzsllM7_b_ZlJYeLc_B_D_FmGfU12PTizJNDpn7R
写完密码约瑟夫就想到原来看到约瑟夫问题的一个数学解法 很巧妙很简单
不过只能推出最后一个出列的人
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1) mod n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m mod n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f
递推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f
+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单。
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