MATLAB求函数零点—fzero函数

MATLAB 函数的零点

作者：未知 信息来源:未知 2006-1-26

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6 函数的零点5。2 一元函数的零点5。2 任意一元函数零点的精确解【 * 例 5。2-1 】通过求 的零点，综合叙述相关指令的用法。...

5.6 函数的零点

5.6.2 一元函数的零点

5.6.2.2 任意一元函数零点的精确解

【 * 例 5.6.2 .2-1 】通过求

的零点，综合叙述相关指令的用法。

（1）构造一个内联函数对象

被解函数

以

为自变量，

和

为

数。假如在
fzero 中直接采用字符串表示被解函数，容易出错。因此先构造内联函数如下：

y=inline('sin(t)^2*exp(-a*t)-b*abs(t)','t','a','b'); %<1>

（2）作图法观察函数零点分布

a=0.1;b=0.5;t=-10:0.01:10; % 对自变量采样，采样步

不宜太大。

y_char=vectorize(y); % 为避免循环，把 y 改写成适合数组运算形式。 <4>

Y=feval(y_char,t,a,b); % 在采样点上计算函数值。

clf,plot(t,Y,'r');hold on,plot(t,zeros(size(t)),'k'); % 画坐标横轴

xlabel('t');ylabel('y(t)'),hold off



图 5.6.2 .2-1 函数零点分布观察图

（3）利用 zoom 和 ginput 指令获得零点的初始近似值（在 MATLAB 指令窗中进行）

zoom on % 在 MATLAB 指令窗中运行，获局部放大图

[tt,yy]=ginput(5);zoom off % 在 MATLAB 指令窗中运行，用鼠标获 5 个零点猜测值。



图 5.6.2 .2-2 局部放大和利用鼠标取值图

tt % 显示所得零点初始猜测值（该指令可在 Notebook 中运行）。

tt =

-2.0032

-0.5415

-0.0072

0.5876

1.6561

（4）求靠近 tt(4) 的精确零点

[t4,y4,exitflag]=fzero(y,tt(4),[],a,b) %<11>

Zero found in the interval: [0.57094, 0.60418].

t4 =

0 。 5993

y4 =

0

exitflag =

1

（5）求在 tt(3)附近的精确零点

从理论分析可知，



函数的一个零点。但即便是以十分靠近该零点的

为搜索的初始值，也找不到

，而却找到了另一个零点。原因是曲线没有穿越横轴。请看下面指令的运行结果。

[t3,y3,exitflag]=fzero(y,tt(3),[],a,b)

Zero found in the interval: [0.58266, -0.59706].

t3 =

-0.5198

y3 =

0

exitflag =

1

（6）观察 fzero 所采用的 options 缺省设置，并更改控制计算精度的相对误差设置。

op=optimset('fzero') % 提取 fzero 所采用的 options 缺省设置

op =

ActiveConstrTol: []

......

Display: 'final'

......

TolX: 2.2204e-016

TypicalX: []

op=optimset('tolx',0.01); % 把终止计算的相对误差阈值设置得较大

op.TolX % 观察新设置值。注意 TolX 字母的大小写。

ans =

0.0100

（7）利用新设置的选项参数重新求 tt(4)附近的零点，以便比较。

[t4n,y4n,exitflag]=fzero(y,tt(4),op,a,b) % 采用新的 op 设置参数。

Zero found in the interval: [0.57094, 0.60418].

t4n =

0 。 6042

y4n =

0 。 0017

exitflag =

1

〖说明〗

1、本例是采用内联函数形式求取函数零点的。

2、 若采用如下 M 函数文件（该文件必须放在搜索路径上）

[y_M.m]

function y=y_M(t,a,b)

y=sin(t).^2.*exp(-a*t)-b*abs(t);

则相应的求零点指令是 [t 4m ,y 4m ,exitflag]=fzero('y_M',tt(4),[],a,b)• 若直接用字符串表达函数，则应把被解函数自变量 t 改成 x ，参数 a 、 b 改成 P1 、 P2 。相应的具体指令如下

P1=0.1;P2=0.5;

y_C='sin(x).^2.*exp(-P1*x)-P2*abs(x)';

[t 4c ,y 4c ,exitflag]=fzero(y_C,tt(4),[],P1,P2)

5.6.3 多元函数的零点

【例 5.6.3 -1 】求解二元函数方程组

的零点。

（1）从三维坐标初步观察两函数图形相交情况

x=-2:0.05:2;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y); % 产生 x-y 平面上网点坐标

F1=sin(X-Y);F2=cos(X+Y);

F0=zeros(size(X));

surf(X,Y,F1),

xlabel('x'),ylabel('y'),

view([-31,62]),hold on,

surf(X,Y,F2),surf(X,Y,F0),

shading interp,

hold off



图 5.6.3 -0 两函数的三维相交图

（2）在某区域观察两函数 0 等位线的交点情况

clear;

x=-2:0.5:2;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y); % 产生 x-y 平面上网点坐标

F1=sin(X-Y);F2=cos(X+Y);

v=[-0.2, 0, 0.2]; % 指定三个等位值，是为了更可靠地判断 0 等位线的存在。

contour(X,Y,F1,v) % 画 F1 的三条等位线。

hold on,contour(X,Y,F2,v),hold off % 画 F2 的三条等位线。



图 5.6.3 -1 两个二元函数 0 等位线的交点图

（3）从图形获取零点的初始近似值

在图 5.6.3 -1 中，用 ginput 获取两个函数 0 等位线（即三线组中间那条线）交点的坐标。

[x0,y0]=ginput(2); % 在图上取两个点的坐标

disp([x0,y0])

-0.7926 -0.7843

0.7926 0.7843

（4）利用 fsolve 求精确解。以求（ 0.7926,7843 ）附近的解为例。

本例直接用字符串表达被解函数。注意：在此，自变量必须写成 x(1), x(2) 。假如写成 xy(1), xy(2) ，指令运行将出错。

fun='[sin(x(1)-x(2)),cos(x(1)+x(2))]'; %<12>

xy=fsolve(fun,[x0(2),y0(2)]) %<13>

xy =

0.7854 0.7854

（5）检验

fxy1=sin(xy(1)-xy(2));fxy2=cos(xy(1)+xy(2));disp([fxy1,fxy2])

1.0e-006 *

-0.0994 0.2019

〖说明〗指令 <12><13> 可用以下任何一组指令取代。

（A）内联函数形式指令

fun=inline('[sin(x(1)-x(2)), cos(x(1)+x(2))]', 'x'); % 项 'x' 必须有。

xy=fsolve(fun,[x0(2), y0(2)]);

（B） M 函数文件形式及指令

先用如下 fun.m 表示被解函数（并在搜索路径上）

[fun.m]

function ff=fun(x)

ff(1)=sin(x(1)-x(2));

ff(2)=cos(x(1)+x(2));

然后运行指令 xy=fsolve('fun',[x0(2),y0(2)]) 。

第四步检验中的结果表明：所找零点处的函数值小于

，是一个十分接近零的小数。该精度由 options.TolFun 控制。 options.TolFun 的缺省值是
1.0000e-006 。它可以用下列指令看到

options=optimset('fsolve');

options.TolFun

ans =

1.0000e-006