推导坐标旋转公式

推导坐标旋转公式

在《Flash actionScript 3.0 动画教程》一书中有一个旋转公式：
x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y;
y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x;
其中x，y表示物体相对于旋转点旋转angle的角度之前的坐标，x1，y1表示物体旋转angle后相对于旋转点的坐标

从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标，例如：A（x，y）绕B（a，b)旋转β度后的位置为C（c，d），则x，y，a，b，β，c，d有如下关系式：



1。设A点旋转前的角度为δ，则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β
2。求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)
3。求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)
4。显然dist1=dist2，设dist1=r所以：
　　r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)
5。由三角函数两角和差公式知：
　　sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)
　　cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)
　　所以得出：
　　c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)
　　d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)
即旋转后的坐标c，d只与旋转前的坐标x，y及旋转的角度β有关

从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动，圆周的半径为|AB|，利用这点就可以使物体绕圆周运动，即旋转物体。
注意：该旋转坐标公式是逆时针旋转，如果想要顺时针旋转则角度应该为要（2pi-β)