2.2 节的练习--Compiler principles, technologys, &tools

2.2 节的练习

2.2.1

考虑下面的上下文无关文法：

S -> S S + | S S * | a

试说明如何使用该文法生成串 aa+a*

试为这个串构造一颗语法分析树

⧗ 该文法生成的语言是什么？试证明

解答

S

->

S

S * ->

S

S + S * -> a

S

+ S * -> a a +

S

* -> a a + a *





把 a 看成是运算数，L = {支持加法和乘法的表达式的后缀表示形式}

2.2.2

下面各个文法生成什么语言？证明你的每一个答案

S -> 0 S 1 | 0 1

S -> + S S | - S S | a

S -> S ( S ) S | ε

S -> a S b S | b S a S | ε

⧗ S -> a | S + S | S S | S * | ( S )

解答

L = {0n1n | n>=1}

L = {支持加法和减法的表达式的前缀表达形式}

L = {匹配括号的任意排列和嵌套的括号串，包括 ε}

L = {数量相同的a和b组成的符号串，包括 ε}

？

2.2.3

上一题中哪些文法具有二义性

解答

没有

没有

有





有





有

2.2.4

为下面的各个语言构建无二义性的上下文无关文法。证明你的文法都是正确的。

用后缀方法表示的算数表达式

由逗号分隔开的左结合的标识符列表(标识符以 id 表示，以下同)

由逗号分隔开的右结合的标识符列表

有整数、标识符、4个二目运算符 +, -, *, / 构成的算数表达式

! 在上一题的运算符中增加单目+ 和单目-构成的算数表达式

解答

E -> E E op | num

list -> list , id | id

list -> id , list | id

expr -> expr + term | expr - term | term

term -> term * factor | term / factor | factor

factor -> id | num | (expr)

注：单目加减运算的优先级最高

expr -> expr + term | expr - term | term

term -> term * unary | term / unary | unary

unary -> + factor | - factor

factor - > id | num | (expr)

2.2.5

证明：用下面文法生成的所有二进制串的值都能被3整除。（提示：对语法分析树的节点树木使用数学归纳法）

num -> 11 | 1001 | num 0 | num num

上面的文法是否能生成所有能被3整除的二进制串？

解答

证明

符合该文法的二进制串一定是由任意数量的 11，1001 和 0 组成的最左位不为0的序列

该序列的十进制和为：

sum

= Σn (21 + 20) * 2 n + Σm (23 + 20) * 2m

= Σn 3 * 2 n + Σm 9 * 2m

显然是能被3整除的

不是。二进制串10101，数值为21，可被3整除，但无法由文法推导出。

注： 还有更一般性的证法么？

2.2.6

为罗马数字构建一个上下文无关文法

注：该文法不考虑罗马数字的上下划线表示，故只能产生小于4k的数字

解答

规则参考 维基百科：罗马数字

根据wiki中讲述的规则，可以发现个位数的表示可以分为4类：

I, II, III | I V | V, V I, V II, V III | I X

即有产生式：

digit -> smallDigit | I V | V smallDigit | I X

smallDigit -> I | II | III | ε

其他数位的表示类似。

还可以发现：罗马数字和阿拉伯数字有比较简单的数位对应关系。

例如：

XII - X, II - 10 + 2 - 12

CXCIX - C, XC, IX - 100 + 90 + 9 - 199

MDCCCLXXX - M, DCCC, LXXX - 1000 + 800 + 80 - 1880

根据这两个规律推导出产生式：

romanNum -> thousand hundred ten digit

thousand -> M | MM | MMM | ε

hundred -> smallHundred | C D | D smallHundred | C M

smallHundred -> C | CC | CCC | ε

ten -> smallTen | X L | L smallTen | X C

smallTen -> X | XX | XXX | ε

digit -> smallDigit | I V | V smallDigit | I X

smallDigit -> I | II | III | ε