UVA 11478 Halum(二分 + 差分约束)
2014-03-04 15:33
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题目:http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2473
题目大意:给你一个 n 个点 m 条有向边的图。有一种操作是:选定一个点 v 和一个整数 d ,把以 v 为终点的边权值减小 d ,把以 v 为起点的边权值都增加 d 。你要使所有边权值的最小值尽可能大,并且它要是 > 0 的(注意是 greater than 0 ,不是 >= 0),输出这个值。如果不存在就输出“No
Solution”,如果这个值可以无限大,就输出“Infinite”。
解题思路:乍一看这道题目很复杂,无从下手,当我们无法算出这个值是多少的时候,有一种方法可以简化题目:二分答案!(题目中也有最小的值最大的字眼,我竟然没想到。。 = =)我们二分出一个值,要看这个值行不行。假设这个值是 x ,那么他就是最小边权。我们看题目,发现对同一个点的这种操作是可以合并的,假设 a 到 b 一条边,sum( i ) 是对 i 这个点的操作数值和,那么这条边的权值就变为了 w(a,b)+ sum(a)- sum(b),谈后他要大于等于
x 。可就是w(a,b)+ sum(a)- sum(b)>= x,即 sum(b)- sum(a)<= w(a,b)-x,不等式右边,是一个已知常数。对于所有的点都有这个不等式,也就是我们得到了了一个不等式组。然后就是差分约束了,判断是否有解,即是否有负环即可。
然后还有两个特判要做,假设输入边权的最大值是max_c,那么如果我们把所有 边权都 - (max_c+1),那么所有边权都为 负了,如果这个时候还没有负环,就肯定不会有负环了,所以就是无穷大了。另外我们它要 >0,那么我们就另 x = 1,如果这个时候还有负环,那么就肯定是无解。这里我顺便提一句,书上估计是写错了,写的是非负,为什么那么多人博客上写的也是非负,然后后面判断是否无解用的是 1。我就是因为没直接看题目,用的是 0 ,然后 WA 几次,去搜博客才发现这个问题,当时我就很不解,还好有一个人提到了这个地方,才去看了边英文原题。。
另外,差分约束判负环可以不用超级源,因为 自己创的源点 s 是连到了所有点,所以只要像做最短路一样,把 s 一个压倒队列里就行了,这样应该回比超级源快点。
好吧,无论怎么样,这是鄙人的第一道差分约束,基本上是理解了一点。如果各位对差分约束不懂的话,可以看我转的那篇文章:传送门
代码如下:
题目大意:给你一个 n 个点 m 条有向边的图。有一种操作是:选定一个点 v 和一个整数 d ,把以 v 为终点的边权值减小 d ,把以 v 为起点的边权值都增加 d 。你要使所有边权值的最小值尽可能大,并且它要是 > 0 的(注意是 greater than 0 ,不是 >= 0),输出这个值。如果不存在就输出“No
Solution”,如果这个值可以无限大,就输出“Infinite”。
解题思路:乍一看这道题目很复杂,无从下手,当我们无法算出这个值是多少的时候,有一种方法可以简化题目:二分答案!(题目中也有最小的值最大的字眼,我竟然没想到。。 = =)我们二分出一个值,要看这个值行不行。假设这个值是 x ,那么他就是最小边权。我们看题目,发现对同一个点的这种操作是可以合并的,假设 a 到 b 一条边,sum( i ) 是对 i 这个点的操作数值和,那么这条边的权值就变为了 w(a,b)+ sum(a)- sum(b),谈后他要大于等于
x 。可就是w(a,b)+ sum(a)- sum(b)>= x,即 sum(b)- sum(a)<= w(a,b)-x,不等式右边,是一个已知常数。对于所有的点都有这个不等式,也就是我们得到了了一个不等式组。然后就是差分约束了,判断是否有解,即是否有负环即可。
然后还有两个特判要做,假设输入边权的最大值是max_c,那么如果我们把所有 边权都 - (max_c+1),那么所有边权都为 负了,如果这个时候还没有负环,就肯定不会有负环了,所以就是无穷大了。另外我们它要 >0,那么我们就另 x = 1,如果这个时候还有负环,那么就肯定是无解。这里我顺便提一句,书上估计是写错了,写的是非负,为什么那么多人博客上写的也是非负,然后后面判断是否无解用的是 1。我就是因为没直接看题目,用的是 0 ,然后 WA 几次,去搜博客才发现这个问题,当时我就很不解,还好有一个人提到了这个地方,才去看了边英文原题。。
另外,差分约束判负环可以不用超级源,因为 自己创的源点 s 是连到了所有点,所以只要像做最短路一样,把 s 一个压倒队列里就行了,这样应该回比超级源快点。
好吧,无论怎么样,这是鄙人的第一道差分约束,基本上是理解了一点。如果各位对差分约束不懂的话,可以看我转的那篇文章:传送门
代码如下:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<algorithm> using namespace std; const int INF = 0x0fffffff; const int MAXN = 555; const int MAXM = 2777+MAXN; struct Edge { int s,t,next,val; } edge[MAXM]; int head[MAXN],tot; void init() { memset(head,-1,sizeof(head)); tot = 0; } void add_edge(int s,int t,int val) { edge[tot].s = s; edge[tot].t = t; edge[tot].val = val; edge[tot].next = head[s]; head[s] = tot++; } int inq[MAXN],cnt[MAXN],d[MAXN]; int negative_cycle(int n) { queue<int>q; memset(inq,0,sizeof(inq)); memset(cnt,0,sizeof(cnt)); for(int i = 0;i <= n;i++) { d[i] = INF; inq[i] = 1; q.push(i); } while(!q.empty()) { int cur = q.front(); q.pop(); inq[cur] = 0; for(int i = head[cur];i != -1;i = edge[i].next) { int next_id = edge[i].t; int tmp = d[cur]+edge[i].val; if(d[next_id] > tmp) { d[next_id] = tmp; if(!inq[next_id]) { inq[next_id] = 1; q.push(next_id); if(++cnt[next_id] > (n+1)) return 1; } } } } return 0; } int check(int mid,int n) { for(int i = 0;i < tot;i++) if(edge[i].s != 0) edge[i].val -= mid; int ok = negative_cycle(n); for(int i = 0;i < tot;i++) if(edge[i].s != 0) edge[i].val += mid; return ok; } int main() { int n,m; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { init(); int max_c = -INF; while(m--) { int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); add_edge(a,b,c); max_c = max(max_c,c); } for(int i = 1;i <= n;i++) add_edge(0,i,0); if(!check(max_c+1,n)) { puts("Infinite"); continue; } if(check(1,n)) { puts("No Solution"); continue; } int l = 0,r = max_c; int ans; while(l <= r) { int mid = (l+r)>>1; if(!check(mid,n)) { ans = mid; l = mid+1; } else r = mid-1; } printf("%d\n",ans); } return 0; }
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