学习笔记----扩展欧几里德

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我个人觉得第一次看到这个程序你会有以上两个不明白的地方（见注释），下面我分别解释

不明处1：由扩展欧几里得定理：ax+by==gcd(a,b)---式1，而此时b==0，也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a --> x==1,y==0。应该够清楚了吧

不明处2：这里先说明一下我的一些规则，x,y表示第一次递归时的值，x1,y1表示第二次递归时的值。那么

gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同时都代入式1，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下

b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)

也就是说，上一深度的x等于下一深度的y1，上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。    需要注意，上面推导时用的除法都是整型除法

到这里为止，我们便得到了不定式ax+by==gcd(a,b)的一组解，x、y。

那么对于一般的不定式ax+by==c，它的解应该是什么呢。很简单，x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))。很好理解吧~

再深入一点，就解出这么一组解其实一般来说是解决不了什么问题的。没有哪个ACM的题这么简单吧。。。比如我们现在要得到所有的解，那么这所有的解究竟是什么呢？

直接说吧,假设d=gcd(a,b). 那么x=x0+b/d*t; y=y0-a/d*t;其中t为任意常整数。

这个是怎么推导出来的，说实话我也不知道，就先这么记着吧！

PS:这里说一下那个公式为什么对。已知a*x+b*y = d <==>(a/d)*x+(b/d)*y = 1(1); 设x0，y0.是满足条件的一组解。将x = x0+b/d*t;y = y0-a/d*t;带入(1)中得到a/d*x0+t+b/d*y0-t = 1;显然这是对的啊。

扩展欧几里德模版：

LL exit_gcd(LL a, LL b)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
LL p = exit_gcd(b, a%b);
LL t = x;
x = y;
y = t-(a/b)*y;
return p;
}