[问题2014S02] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第二教学周）

问题2014S02 设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \\ g(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0, \end{eqnarray*} 其中 \(a_nb_m\neq 0\), \(n\geq 1\), \(m\geq 1\). 设 \(t\) 为实变元, \[g_t(x)=b_mx^m+(b_{m-1}+t)x^{m-1}+\cdots+(b_1+t^{m-1})x+(b_0+t^m).\] 证明: 存在正数 \(\delta\), 使得对任意的 \(0<|t|<\delta\), \(f(x)\) 都与 \(g_t(x)\) 互素.

注 事实上, \(g_t(x)\) 是 \(g(x)\) 的扰动, 即 \(g_0(x)=g(x)\). 上述问题告诉我们, 即使 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 不互素, 我们也可以做一个微小的扰动 \(g_t(x)\), 使得 \(f(x)\) 与 \(g_t(x)\) 互素.