二分查找的那些事儿

二分查找算法，是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。

注意两点：

(1)有序：查找之前元素必须是有序的，可以是数字值有序，也可以是字典序。为什么必须有序呢？ 如果部分有序或循环有序可以吗？

(2)数组：所有逻辑相邻的元素在物理存储上也是相邻的，确保可以随机存取。

算法思想：

搜素过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜素过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

这里我们可以看到:

(1) 如果查找值和中间值不相等的时候，我们可以确保可以下次的搜索范围可以缩小一半，正是由于所有元素都是有序的这一先决条件

(2) 我们每次查找的范围都是 理应包含 查找值的区间，当搜索停止时，如果仍未查找到，那么此时的搜索位置就应该是 查找值 应该处于的位置，只是该值不在数组中而已

算法实现及各种变形：

1. 非降序数组A, 查找 任一个 值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1

2. 非降序数组A, 查找 第一个 值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1 (类似：查找数组中元素最后一个 小于 val 值 的位置)

3. 非降序数组A, 查找 最后一个值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1 (类似：查找数组中元素 第一个 大于 val 值 的位置)

4. 非降序数组A, 查找任一 值为val的元素，保证插入该元素后 数组仍然有序，返回可以插入的任一位置

5. 非降序数组A, 查找任一 值为val的元素，保证插入该元素后 数组仍然有序，返回可以插入的第一个位置

6. 非降序数组A, 查找任一 值为val的元素，保证插入该元素后 数组仍然有序，返回可以插入的最后一个位置

7. 非降序数组A, 查找 任一个 值==val的元素，若找到则 返回一组下标区间(该区间所有值 ==val)，若未找到则返回-1

8. 非降序字符串数组A, 查找 任一个 值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1(类似：未找到时返回应该插入点)

9. 循环有序数组中查找 == val 的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1

10.非降序数组A，查找绝对值最小的元素，返回其下标位置

1. 非降序数组A, 查找 任一个 值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1

int binary_search(int* a, int len, int val)
{
assert(a != NULL && len > 0);
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (val < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else if (val > a[mid]) {
low = mid + 1;
} else {
return mid;
}
}
return -1;
 }

注意：

(1) 使用assert对函数输入进行合法性检查

(2) while 循环的条件是 low<=high，这里如果查找值未找到，则此时一定 low = high + 1

(3) 对 val 和 a[mid] 做比较时，首先考虑不等情况，最后考虑相等情况，如果随机分布的话 不等的概率肯定 大于 相等的概率

2. 非降序数组A, 查找 第一个 值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1 (类似：查找数组中元素最后一个 小于 val 值 的位置)

因为数组中可能有重复元素，所以数组中是有可能存在多个值与 val 相等的，我们对普通二分进行变形：

当 val < a[mid] 时， 接下来的搜索范围减半 high = mid - 1

当 val > a[mid] 时， 接下来的搜索范围减半 low = mid + 1

当 val == a[mid] 时，这个时候就不能简单的返回了，我们要求的是第一个 == val 的值，什么条件下是第一个呢？

当 mid == 0 那当然是第一个

当 mid > 1 && a[mid - 1] != val 这个时候也是第一个

其他情况下，这个时候查找到的值不是第一个，此时我们应该继续搜索，而不是返回，搜索范围是什么呢？ 因为是查找第一个，那么接下来肯定应该在

此时位置的左边继续搜索，即 high = mid - 1

int search_first(int* a, int len, int val)
{
assert(a != NULL && len > 0);
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (val < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else if (val > a[mid]) {
low = mid + 1;
} else {
if (mid == 0) return mid;
if (mid > 0 && a[mid-1] != val) return mid;
high = mid - 1;
}
}
return -1;
 }

3. 非降序数组A, 查找 最后一个值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1 (类似：查找数组中元素 第一个 大于 val 值 的位置)

算法思想与 第2题 相同

int search_last(int* a, int len, int val)
{
assert(a != NULL && len > 0);
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (val < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else if (val > a[mid]) {
low = mid + 1;
} else {
if (mid == (len - 1)) return mid;
if (mid < (len - 1) && a[mid+1] != val) return mid;
low = mid + 1;
}
}
return -1;
 }

4. 非降序数组A, 查找任一 值为val的元素，保证插入该元素后 数组仍然有序，返回可以插入的任一位置

当 a[mid] == val 则返回 mid，因为在该位置插入 val 数组一定保证有序

当 循环结束后 仍未查找到 val值，我们之前说过，此时 一定有 high = low + 1，其实查找值永远都 应该在 low和high组成的区间内，现在区间内没空位了，所以可以宣告该值没有查找到，

如果仍然有空位，则val一定在该区间内。也就是说此时的 low 和 high 这两个值就是 val 应该处于的位置，因为通常都是在位置之前插入，所以此时直接返回 low 即可

int insert(int* a, int len, int val)
{
assert(a != NULL && len > 0);
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (val < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else if (val > a[mid]) {
low = mid + 1;
} else {
return mid;
}
}
 return low;
 }

5. 非降序数组A, 查找任一 值为val的元素，保证插入该元素后 数组仍然有序，返回可以插入的第一个位置

因为是要求第一个可以插入的位置，当查找值不在数组中时，插入的位置是唯一的，即 return low

当查找值出现在数组中时，此时就演变成了 查找第一个 == val 的值，详见 第2题

int insert_first(int* a, int len, int val)
{
assert(a != NULL && len > 0);
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (val < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else if (val > a[mid]) {
low = mid + 1;
} else {
if (mid == 0) return mid;
if (mid > 0 && a[mid-1] != val) return mid;
high = mid - 1;
}
}
return low;
 }

6. 非降序数组A, 查找任一 值为val的元素，保证插入该元素后 数组仍然有序，返回可以插入的最后一个位置

算法思想与第 5 题相同

int insert_last(int* a, int len, int val)
{
assert(a != NULL && len > 0);
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (val < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else if (val > a[mid]) {
low = mid + 1;
} else {
if (mid == (len - 1)) return mid;
if (mid < (len - 1) && a[mid+1] != val) return mid;
low = mid + 1;
}
}
return low;
 }

7. 非降序数组A, 查找 任一个 值==val的元素，若找到则 返回一组下标区间(该区间所有值 ==val)，若未找到则返回-1

我们首先想到的是根据 第 1 题 进行稍微修改，当 a[mid] == val 时，并不立即 return mid，而是 以 mid 为中心 向左右两边搜索 得到所有值 == val 的区间

注意此算法时间复杂度可能O(n) 当数组中所有值都等于val时，此算法的复杂度为 O(n)

联想到第 2 题 和 第 3 题，我们可以首先找到第一个 == val 的下标，然后找到最后一个 == val 的下标，两下标即为所求，此时，算法复杂度为 2*log(n) 为最优方法

具体算法实现 此处略去

8. 非降序字符串数组A, 查找 任一个 值==val的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1(类似：未找到时返回应该插入点)

注意我们这是字符串数组，其实 这和 第 1 题基本相同，只是 元素做比较时 对象时字符串而已

int binary_search(char* a[], int len, char* val)
{
assert(a != NULL && len > 0 && val != NULL);
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (strcmp(val, a[mid]) < 0) {
high = mid - 1;
} else if (strcmp(val, a[mid]) > 0) {
low = mid + 1;
} else {
return mid;
}
}
return -1;   // or return low
}

其实c语言标准库已经提供了二分查找算法，调用标准库之前我们必须首先定义一个 cmp 比较函数，作为 函数指针 传给 bsearch 函数

对于字符串的比较函数：

int cmp(const void* a, const void* b)
{
assert(a != NULL && b != NULL);
const char** lhs = (const char**)a;
const char** rhs = (const char**)b;
return strcmp(*lhs, *rhs);
}

字符串的比较函数为什么不是 直接 return strcmp((char*)a, (char*)b) ? 而是首先转为 指针的指针，然后再 引用元素？

首先我们必须要知道 比较函数 cmp(void* a, void* b) 指针a和指针b是直接指向需要做比较的元素的，

而在字符串比较函数中，因为 char* a[] 是一个指针数组，即数组中每个元素都是一个指针，指向需要做比较的元素

如果我们直接 写成 return strcmp((char*)a, (char*)b) 则我们是在对数组中的元素做比较，而数组中的元素是一个内存地址(此时将一个内存地址解释为1个字节的char来做比较)，

实际上它所指向的元素才是我们需要比较的，所以这里有个二级指针

9. 循环有序数组中查找 == val 的元素，若找到则返回下标位置，若未找到则返回-1

这里我们对 循环有序数组做一下限制，原本数组应该是全部有序，如 a = {0, 1, 4, 5, 6, 10, 25, 28}

这里我们从某一位置将数组切成两半，将后一半整体挪到数组前面去，例如 a = {5, 6, 10, 25, 28, 0, 1, 4}

这样每次定位到一个mid时，会出现两种类型的子数组：

(1) {5, 6, 10, 25} 全部有序的子数组：当子数组的第一个元素 <= 最后一个元素时，我们可以肯定该子数组是有序的

为什么呢？ 会不会出现 {5, 6, 10, 0, 25} 或者 {5, 6, 10, 25, 15}这样的呢？ 答案是不会，大家想想这两段数组是怎么来的就知道了

(2) {28, 0, 1, 4} 不是全部有序的子数组

当 a[mid] == val 时 直接 return mid

当 a[low] <= a[mid] 且 a[low] <= val < a[mid] 时, 此时搜索区间肯定转到 mid 左边，反之就是右边

当 a[low] > a[mid] 且 a[mid] < val <= a[high]时， 此时搜索区间肯定转到 mid 右边，反之就是左边

这里我们还必须认识到一点：

任意查找时刻，只能处于以下3种情况：

a. mid左边是全部有序 mid右边也是全部有序

b. mid左边非全部有序，mid 右边是全部有序

c. mid左边全部有序， mid右边是非全部有序

即任何时候，都至少有一个区间是全部有序的，我们就是对这个区间进行准确的判断 查找值是否在该区间

int binary_search(int* a, int len, int val)
{
assert(a != NULL && len > 0);
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (a[mid] == val) return mid;
if (a[low] <= a[mid]) {
if (a[low] <= val && val < a[mid])
high = mid - 1;
else
low = mid + 1;
} else {
if (a[mid] < val && val <= a[high])
high = mid + 1;
else
low = mid - 1;
}
}
return -1;
}

10.非降序数组A，查找绝对值最小的元素，返回其下标位置

毫无疑问绝对值最小的是0，我们可以首先查找数组总是否有0，如果有，那么直接返回下标，否则比较0应该插入的位置的左右两边的绝对值谁大谁小

我们可以直接利用第4题的方法

int binary_search(int* a, int len, int val)
{
assert(a != NULL && len > 0);
int low = 0;
int high = len - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (val < a[mid]) {
high = mid - 1;
} else if (val > a[mid]) {
low = mid + 1;
} else {
return mid;
}
}
return low;
}

int find_abs_min(int *a, int len)
{
assert(a != NULL && len > 0);
int zero_pos = binary_search(a, len, 0);
if (a[zero_pos] == 0) {
return zero_pos;
} else {
if (zero_pos == 0) {
return zero_pos;
} else if (zero_pos == len) {
return zero_pos - 1;
} else {
if (abs(a[zero_pos]) < abs(a[zero_pos-1]))
return zero_pos;
else
return zero_pos - 1;
}
}
}

欢迎大家批评指正，共同学习。