POJ 1163 The Triangle

题目链接：http://poj.org/problem?id=1163

Hint:

入门DP问题。我是采用记忆化搜索的方法来求解的。

定义状态d[i][j]表示从位置(i,j)出发能得到的最大和（根结点是(0,0)）。在这个状态定义下，原问题

的解是d(0,0).下面来看状态是怎么转移的。从(i,j)出发,有两种走法。如果向左走，则走到(i+1,j)后

需要求“从(i+1,j)出发后能得到的最大和”这一问题，即d[i+1][j].类似地，往右走之后需要求解

d[i+1][j+1],由于可在这两个决策中自由选择，所以应选择d(i+1,j),d(i+1,j+1)中较大的一个。

换句话说，得到了所谓的状态转移方程：

d(i,j)=f[i][j]+ max(d(i+1,j),d(i+1,j+1)))

如果向左走，那么最好情况等于(i,j)的值f[i][j]与“从(i+1,j)出发的最大和”之和，这里需要注意

“最大”二字。如果连“从(i+1,j)出发走到底部”这部分的和都不是最大的，那么加上f[i][j]之后的

和肯定也不是最大的。这个性质称为最优子结构(optimal substructure)，也可以描述为“全局最优解

包含局部最优解”。不管怎样，状态和状态转移方程一起完整地描述了具体的算法。

其实，动态规划的核心也正是 状态和状态转移方程。

代码如下：

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<string>
#include<map>
#include<iterator>
#include<algorithm>
#include<numeric>
#include<cmath>
#include<sstream>
using namespace std;
int f[100][100];    //各个结点的值
int d[100][100];   //保存从(i,j)出发走到底部的最大值
int dp(int i, int j, int n);
int main()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
freopen("D:\\in.txt", "r", stdin);
freopen("D:\\out.txt", "w", stdout);
#endif // ONLINE_JUDEG
int n(0);
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j <= i; j++)
{
cin >> f[i][j];
}
memset(d, -1, sizeof(d));
cout << dp(0, 0, n) << endl;
return 0;
}
//这里是核心，要仔细理解，特别是边界条件的处理
int dp(int i, int j, int n)
{
if (d[i][j] >= 0)
{
return d[i][j];
}
return d[i][j] = f[i][j] + (i == n ? 0 : max(dp(i+1,j,n),dp(i+1,j+1,n)));
}

另外一种做法：用递推计算（需再次注意边界处理）

自底向上，d[i][j]保存从底部到d[i][j]的所有可能路径的和的最大值，那么d[i][j]就等于下面两个分支的d[i+1][j], d[i+1][j+1]的最大值。

求解过程：

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

第一步：

7

3 8

8 1 0

7 12 10 10 从这一行开始，根据下一行值确定此行最大和

第二步：

7

3 8

20 13 10

7 12 10 10

4 5 2 6 5

第三步：

7

23 21

20 13 10

7 12 10 10

4 5 2 6 5

第四步：

30 <---------- (最大和值7+23)

23 21

20 13 10

7 12 10 10

4 5 2 6 5

代码如下：

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<string>
#include<map>
#include<iterator>
#include<algorithm>
#include<numeric>
#include<cmath>
#include<sstream>
using namespace std;
int f[100][100];    //各个结点的值
int d[100][100];   //保存从(i,j)出发走到底部的最大值
int main()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
freopen("D:\\in.txt", "r", stdin);
freopen("D:\\out.txt", "w", stdout);
#endif // ONLINE_JUDEG
int n(0);
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j <= i; j++)
{
cin >> f[i][j];
}
memset(d, -1, sizeof(d));
for (int j = 0; j < n; j++)
{
d[n - 1][j] = f[n - 1][j];
}
for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
for (int j = 0; j <= i;j++)
{
d[i][j] =f[i][j]+ max(d[i + 1][j], d[i + 1][j + 1]);
}
cout << d[0][0] << endl;
return 0;
}