整数划分
2014-02-25 23:22
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整数划分问题是算法中的一个经典命题之一,有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:
n=m1+m2+...+mi; (其中mi为正整数,并且1 <= mi <= n),则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,...,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
例如但n=4时,他有5个划分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
该问题是求出n的所有划分个数,即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
---------------------------------------------------------------------
(一)递归法
---------------------------------------------------------------------
根据n和m的关系,考虑以下几种情况:
(1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分即{1};
(2) 当m=1时,不论n的值为多少,只有一种划分即n个1,{1,1,1,...,1};
(3) 当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:
(a). 划分中包含n的情况,只有一个即{n};
(b). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。
因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4) 当n<m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n);
(5) 但n>m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况:
(a). 划分中包含m的情况,即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m,可能再次出现m,因此是(n-m)的m划分,因此这种划分
个数为f(n-m, m);
(b). 划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1);
因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
综合以上情况,我们可以看出,上面的结论具有递归定义特征,其中(1)和(2)属于回归条件,(3)和(4)属于特殊情况,将会转换为情况(5)。而情况(5)为通用情况,属于递推的方法,其本质主要是通过减小m以达到回归条件,从而解决问题。其递推表达式如下:
f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
f(n, n); (n<m)
1+ f(n, m-1); (n=m)
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)
---------------------------------------------------------------------
(二)母函数法
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下面我们从另一个角度即“母函数”的角度来考虑这个问题。
所谓母函数,即为关于x的一个多项式G(x):
有 G(x)= a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ...
则我们称G(x)为序列(a0,a1,a2,...)的母函数。关于母函数的思路我们不做更多分析。
我们从整数划分考虑,假设n的某个划分中,1的出现个数记为a1,2的个数记为a2,..., i的个数记为ai,
显然: ak<=n/k; (0<= k <=n)
因此n的划分数f(n,n),也就是从1到n这n个数字中抽取这样的组合,每个数字理论上可以无限重复出现,即个数随意,使他们的总和为n。显然,数字i可以有如下可能,出现0次(即不出现),1次,2次,..., k次,等等。把数字i用(x^i)表示,出现k次的数字i用 x^(i*k)表示, 不出现用1表示。例如数字2用x^2表示,2个2用x^4表示,3个2用x^6表示,k个2用x^2k表示。
则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为:
G(x) = (1+x+x^2+x^3+...+x^n) (1+x^2+x^4+...) (1+x^3+x^6+...) ... (1+x^n)
= g(x,1) g(x,2) g(x,3) ... g(x, n)
= a0 + a1* x + a2* x^2 + ... + an* x^n + ... ; (展开式)
上面的表达式中,每一个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此该多项式展开后,由于x^a * x^b=x^(a+b),因此 x^i 就代表了i的划分,展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分的个数,即f(n,n)=an (上式中g(x,i)表示数字i的所有可能出现情况)。
由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x);剩下的问题是,我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。
为此我们首先要做多项式乘法,对于我们来说并不困难。我们把一个关于x的一元多项式用一个整数数组a[]表示,a[i]代表x^i的系数,即:
g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a
x^n;
则关于多项式乘法的代码如下,其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式,结果存储到数组c:
n=m1+m2+...+mi; (其中mi为正整数,并且1 <= mi <= n),则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,...,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
例如但n=4时,他有5个划分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
该问题是求出n的所有划分个数,即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
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(一)递归法
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根据n和m的关系,考虑以下几种情况:
(1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分即{1};
(2) 当m=1时,不论n的值为多少,只有一种划分即n个1,{1,1,1,...,1};
(3) 当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:
(a). 划分中包含n的情况,只有一个即{n};
(b). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。
因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4) 当n<m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n);
(5) 但n>m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况:
(a). 划分中包含m的情况,即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m,可能再次出现m,因此是(n-m)的m划分,因此这种划分
个数为f(n-m, m);
(b). 划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1);
因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
综合以上情况,我们可以看出,上面的结论具有递归定义特征,其中(1)和(2)属于回归条件,(3)和(4)属于特殊情况,将会转换为情况(5)。而情况(5)为通用情况,属于递推的方法,其本质主要是通过减小m以达到回归条件,从而解决问题。其递推表达式如下:
f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
f(n, n); (n<m)
1+ f(n, m-1); (n=m)
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)
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(二)母函数法
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下面我们从另一个角度即“母函数”的角度来考虑这个问题。
所谓母函数,即为关于x的一个多项式G(x):
有 G(x)= a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ...
则我们称G(x)为序列(a0,a1,a2,...)的母函数。关于母函数的思路我们不做更多分析。
我们从整数划分考虑,假设n的某个划分中,1的出现个数记为a1,2的个数记为a2,..., i的个数记为ai,
显然: ak<=n/k; (0<= k <=n)
因此n的划分数f(n,n),也就是从1到n这n个数字中抽取这样的组合,每个数字理论上可以无限重复出现,即个数随意,使他们的总和为n。显然,数字i可以有如下可能,出现0次(即不出现),1次,2次,..., k次,等等。把数字i用(x^i)表示,出现k次的数字i用 x^(i*k)表示, 不出现用1表示。例如数字2用x^2表示,2个2用x^4表示,3个2用x^6表示,k个2用x^2k表示。
则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为:
G(x) = (1+x+x^2+x^3+...+x^n) (1+x^2+x^4+...) (1+x^3+x^6+...) ... (1+x^n)
= g(x,1) g(x,2) g(x,3) ... g(x, n)
= a0 + a1* x + a2* x^2 + ... + an* x^n + ... ; (展开式)
上面的表达式中,每一个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此该多项式展开后,由于x^a * x^b=x^(a+b),因此 x^i 就代表了i的划分,展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分的个数,即f(n,n)=an (上式中g(x,i)表示数字i的所有可能出现情况)。
由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x);剩下的问题是,我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。
为此我们首先要做多项式乘法,对于我们来说并不困难。我们把一个关于x的一元多项式用一个整数数组a[]表示,a[i]代表x^i的系数,即:
g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a
x^n;
则关于多项式乘法的代码如下,其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式,结果存储到数组c:
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