稀疏矩阵相关 1

应用： PDE数值解。

稀疏矩阵与图论：

1 邻接图可用一个稀疏矩阵描述。其中稀疏矩阵的每个非零元素（对应一个未知变量）表示“图”中对应的两个“节点”之间有一条“边”； 对称稀疏矩阵表示一个无向图。高斯消元法所选的pivots，就是“图”中独立的”节点“ （ 该节点与其他节点之间不存在”边“）。

2 PDE离散网格中节点自由度的编号。法一，一个节点的所有自由度连续的编号；法二：所有节点的相同自由度连续编号。计算网格 - quotient graph

3 矩阵初等变换与重排。

3.1 初等变换： 矩阵M中两行交换，变换矩阵左乘M。变换矩阵即单位对角矩阵中对应两行互换位置；M中两列交换，变换矩阵右乘M。如果采用相同的变换矩阵，行变换与列变 换的结果矩阵相似。

初等变换的意义是：矩阵未知量重编号。对应即”图中节点”重新编号。

| a11 0 a13 0 | | a11 a13 0 0 |

| 0 a22 a23 a24 | ------> | a31 a33 a32 0 |

| a31 a32 a33 0 | | 0 a23 a22 a24 |

| 0 a42 0 a44 | | 0 0 a42 a44 |

实际稀疏矩阵的初等变换，一般都采用”对称变换”。即行变换与对应列变换都执行。 A = PAP^T。 对称变换等价于将图中的节点进行重编号，但不改变边的关系。即原来 old(i) old(j)之间有一条边，这条“边”在新节点 i, j对之间仍然存在。应用举例：

对一个满秩矩阵M，其第一行/第一列元素均非零，其余位置只有对角线有元素，进行高斯消元。由于消元步从第一行开始，将导致每步在原来零元素的位置，填充非零元素。对于大型稀疏矩阵，该行为非常不合适。而对此矩阵进行初等行列变换，交换第一行/第一列 与 最后一行/最后一列。此时消元将不再产生”非零填充“。

3.2 非零元素编号/排序

最简单的办法采用广度优先搜索（BFS）：采用某个顺序（任意的）开始访问节点，每个当前访问节点的邻接点若还没有编号，就给个编号并且将其定义为下一层将要访问的节点。BFS中会有两个选择影响最后的变换矩阵。一，第一个访问节点怎么选；二，在同一层的节点访问顺序怎么定。Cuthill - MeKee 算法给出了如下办法：

1 第一个访问点的选定，是问题空间相关的，即根据离散网格选定。最终将影响矩阵的带宽。比如，有限元方法里面，单元节点编号尽量满足相近的节点编号尽可能接近。第一个访问点尽量是与其他节点连线最少的那个。

2 同一层内节点按从小到大的顺序访问。

3.3 独立集排序（independent set ordering)

计算域离散后，经常得到一种如下形式的矩阵。 A = （D， E；F， C），其中D是一个对角子矩阵，C， E，F为稀疏子矩阵。D对应未知变量是完全解耦的，非常便于计算，所以希望通过矩阵变换，得到最大秩的D。而实际上确定某个矩阵最大的D是个NPH问题，故可以尝试一些启发式算法：

每步访问到一个节点，就将该节点以及它所有的邻节点都从图中剔除，然后继续访问剩下的节点，直到剔除所有图中节点。

3.4 不可约矩阵

如果矩阵对应的图是全联通的（图中所有节点之间都可以通过若干条边连接），那么该矩阵就是不可约的。如果矩阵可约，就可以通过”对称变换“，将其化作块上三角矩阵。不可约矩阵，貌似是”全填充“的矩阵。

4 稀疏矩阵存储

最简单的是三元组：一列存元素值，一列存元素横坐标，一列存元素列坐标。经典的压缩存储法 （Compressed Sparse Row/Column)。对于”带状“矩阵，可以按对角元存储等等。

5 稀疏矩阵基本运算

5.1 矩阵 向量 乘法

do i = 1, N
K1 = IA(i)
K2 = IA(i+1) - 1
y(i) = dotproduct( A(k1:k2), x(ja(k1:k2))
end
% CSR 存储

该运算每步计算一个结果值y(i), 步与步之间独立，适合并行。

% 本周介绍稀疏矩阵的迭代解法