图说微积分（七）泰勒级数的计算

教授又开始说笑了，我们已经知道了怎样像个超人一样去微分，计算一些函数的泰勒级数岂不是小菜一碟？



根据泰勒公式：



我们要计算e^x在x=0很容易，因为它的各阶导数在x=0处都相等，为1，那么我们要是计算它在x=10处的展开呢？似乎是个问题。

同样的，如果我们要求sinx的泰勒级数：



绕啊绕啊绕，无限循环中....有时候老老实实的套公式并非最佳解，因为我们要计算大量的高阶导数，不是很好玩儿的样子。

代换法



看我们用代换法去解上面的函数，先将sin(x)的平方项展开，再以sin(x)的展开项作为自变量带入到指数函数的泰勒级数中，这事儿就成了，神奇吧！

下面再看一个例子：



首先通过几何级数的泰勒级数，把x换成负x，我们能够得到1/(1+x)的泰勒级数，再对其做微分，能够得到1/(1-x)^2的泰勒级数。同时1/(1+x)做积分运算，能够得到ln(1+x)的泰勒级数，再讲1+x换成u还能得到lnu的级数！

我们有了指数函数的泰勒级数，那么经过代换法还能得到双曲函数的级数：