1398--Square Coins

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Problem Description

People in Silverland use square coins. Not only they have square shapes but also their values are square numbers. Coins with values of all square numbers up to 289 (=17^2), i.e., 1-credit coins, 4-credit coins, 9-credit coins, ..., and 289-credit coins, are
available in Silverland. 

There are four combinations of coins to pay ten credits: 

ten 1-credit coins,

one 4-credit coin and six 1-credit coins,

two 4-credit coins and two 1-credit coins, and

one 9-credit coin and one 1-credit coin. 

Your mission is to count the number of ways to pay a given amount using coins of Silverland.

 

Input

The input consists of lines each containing an integer meaning an amount to be paid, followed by a line containing a zero. You may assume that all the amounts are positive and less than 300.

 

Output

For each of the given amount, one line containing a single integer representing the number of combinations of coins should be output. No other characters should appear in the output. 

 

Sample Input

2
10
30
0

 

Sample Output

1
4
27

 

运用母函数模型....

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
int main()
{
// freopen("input,txt","r",stdin);
int temp[305],ans[305],n;
while(~scanf("%d",&n),n)
{
for(int i=0;i<=n;i++) ans[i]=1;
for(int i=2;i<=17;i++)
{
memset(temp,0,sizeof(temp));
for(int j=0;j<=n;j++)//累计x^y的系数
{
for(int k=0;k+j<=n;k+=i*i)//当前x^y的系数
temp[k+j]+=ans[j];
}
for(int j=0;j<=n;j++)//将临时数组清零
ans[j]=temp[j];
}
printf("%d\n",ans
);
}
return 0;

}

附录:<<母函数和排列组合>>

母函数与排列组合

　　在谈论母函数问题之前，我们先看一个简单的问题描述：假如有两组数据（A,B）和（C,D），每组中选出一个构成一个组合，总共有几种选法？很显然总共有4种选法：AC,AD,BC,BD。而且很容易联想到这个式子（A+B）*（C+D）=A*C+A*D+B*C+B*D。式子中的几个乘积项就是上面的4种选法。假如把问题换一下：每组中选出一个或0个数据构成组合，总共有几种组合？那么结果就变成：{空},A,B,C,D,AC,AD,BC,BD，而式子（1+A+B）*（1+C+D）=1+C+D+A+A*C+A*D+B+B*C+B*D，正好和上面组合的结果又一致（1代表什么都没选）。从这2个例子我们可以发现多项式乘积和组合存在着某种关系。事实上我们可以这么理解：（1+A+B）可以理解为从第一组数据中取0个数据，取A或者取B，同样（1+C+D）可以理解为从第二组数据取0个数据，取C或者取D。两者相乘的结果就表示了所有的组合。再看一下这个多项式：

　　（1+x）*（1+x+x2）*（1+x3）=1+2x+2x2+2x3+2x4+2x5+x6

　　这个多项式和上面的有一些区别了，它的幂级数超过1了。如果要从（1+x）、（1+x+x2）和（1+x3）中得到x的2次方的话，有两种选择：从（1+x）和（1+x+x2）中分别选择一个x或者从（1+x+x2）中选择x2；如果要得到x的6次方的话，只有1种选择，就是从（1+x）中选择x、（1+x+x2）中选择x2、（1+x3）中选择x3。也就是说乘积结果的每一项anxn的前面的系数an表示了从（1+x）、（1+x+x2）和（1+x3）中得到xn的组合数。

　　其实上面的例子就利用了母函数的思想，下面来具体讨论一下母函数。

一.什么是母函数

　　下面这个对于母函数的描述摘自维基百科：

　　在数学中，某个序列 的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

　　也就是说母函数是针对某个序列的，它的外在表现形式是一种形式幂级数。比如说有这样一个序列a0，a1，......an，构造一个函数

　　f(x)=a0+a1x+a2x2+......+anxn

　　则f(x)是序列a0，a1，......an的母函数。比如说最常见的(1+x)n，它是序列C(n,0)，C(n,1)，C(n,2)...C(n,n)的母函数。

　　母函数包括几种，其中最常见的是普通型母函数和指数型母函数。普通型母函数是形如　f(x)=a0+a1x+a2x2+......+anxn的函数，而指数型母函数是形如G(x) = a0 + a1*(x)/1! + a2*(x2)/ 2! + a3*(x3)/3!
+ …… an*(xn)/k!的函数。

二.利用普通型母函数解决组合问题

　利用母函数的思想可以解决很多组合问题，下面举例说明：

　1.口袋中有白球2个，红球3个，黄球1个，从袋中摸出3个球有几种取法？

　   和上面描述的例子类似，我们可以用次数代表球的个数，多项式的每一项前面的系数代表取法的种树。

　　可以很容易地写出下面这个式子：

　　（1+x+x2）（1+x+x2+x3）（1+x）

 　　（1+x+x2）表示有白球2个，1表示白球不取，x代表取1个白球，x2代表取2个白球，即用x的次数表示取球的个数，后面的也是类似。那么这个多项式的乘积就把所有的情况都表示出来了，对于最终乘积的每一项anxn，表示取n个球有an种取法。

    2.有若干个1克，2克，5克的砝码，要称出20克的重量，有多少种称法？

　　这里不限制砝码的个数，无所谓，照样写出母函数：

　　（1+x+x2+x3+......xk+....）（1+x2+x4+x6......+x2n+......）（1+x5+x10+......x5m+......）

　　因为要称出20克，所以只需要找找到结果中次数为20 的那一项就可以得到结果。

    3.同样对于正数划分也可以解决，比如有整数20，划分成1，2，5，有多少种划分方法？

　　解法和2的类似。

     还有一类题目和这类似，有n个球放到m个盒子中，有多少种不同的放法？

    （1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）总共有m项，然后找出乘积中次数为n的那一项系数。

三.利用指数型母函数解决排列问题

　　1.口袋中有白球2个，红球3个，黄球1个，任取3个作为一个排列，总共有多少种排列？

　　类似地用指数型母函数解决

　　用（1+x/1!+x2/2!）表示取白球0个，1个或者2个

　　那么（1+x/1!+x2/2!）（1+x/1!+x2/2!+x3/3!）（1+x/1!）来表示所有的排列结果。

 　 =1+3x+4x2+19x3/6+19x4/12+6x5/12+x6/12

　  =1+3*(x/1!)+8*(x2/2!)+19*(x3/3!)+38*(x4/4!)+60*(x5/5!)+60*(x6/6!)

　　找到次数为3的那一项，系数为19，那么总共有19种排列。

　　2.用1，2，3，4能够组成多少个5位数，要求1出现2次或者3次，2出现0次或者1次，3没有限制，4只出现偶数次。

　　（x2/2!+x3/3!）（1+x）（1+x/1!+x2/2!+x3/3!+.....xk/k!+....）（1+x2/2!+x4/4!+......+x2n/(2n)!+......）

　　 每个式子的含义就不多解释了，读者应该能看懂它的含义。最终的结果就是x5/5!这一项的系数。

　　用代码去实现母函数的计算过程很简单，它是模拟我们人工计算多项式乘积的过程，比如有多项式H1*H2*H3......

　　我们先计算H1和H2的乘积，得到结果H'，再用H'和H3相乘......依次类推下去，直到得到最终的结果。