One Day One Step之平面分割问题

这几天校集训队集训，在做专题训练。昨天和今天练的是“排序，递归，和贪心”，里面有一道题，是线分割平面个数的，开始不会做，然后经过一番学习之后，终于理解了！特写出来与大家分享!



先来一道简单的吧！

平面内有n条直线，最多能把平面分成及部分。

其实这个问题不难，关键要抓准几个点，而且，这几个点对于这一类”线分割面“的题目是通用的，也就是说，掌握了这几个点的话这一类问题就是很简单的了。

一条直线如果要想把一个平面分割成最多的平面数，就必须与其他原来的直线都有一个交点（这里之所以是说直线是以为后面还有折线和弧线的情况）。

一条新的线能够把原来的平面分成的平面数取决于原来的平面数，以及这条线被与原来的线相交的点分割成的线段或者是射线的条数，即：第n条直线将平面分割的平面数=
原来即第（n - 1）条直线将平面分割的平面数 +第n条直线被相交点分割成的线段或者射线数或者说第n条直线与其余（n - 1）条线相交的点数加上2（两点确定一条直线以及首尾的两条射线线）
。

所以，我们现在就把问题归结为线与其他线相交的最多点数。根据第一点所说的，第n条直线最多能与其余的（n - 1）条直线有（n - 1）个交点。于是我们可以得到一个递推关系式：

F(n ) = F( n – 1 ) +（n + 1），其中，F(1) = 2。

解得：F(n) = ( n * n + n ) / 2 + 1。

接下来里一个问题：

一个圆弧与另外一个圆弧相交且有且只有2个交点，而且所有交点都不会重合，问n个相交圆弧能将平面分割成几个分割平面。

要解决这个问题还是得按照我们上面的讨论，即第n条圆弧能与其余（n - 1）条圆弧相交几个点！答案比较简单，因为题目已经说了，每个圆弧与其他圆弧有两个交点，所以，第（n - 1）条圆弧总共能有2
* （n- 1）个交点！但是，与上面的题目不同的是，这里是圆弧，所以两个点能产生两段新的圆弧，所以，综上：

F(n)= F(n-1) + 2 *（n-1），其中，F(1) = 2。

解得：F(n) = n * n – n + 2。

接下来是最后一个问题：

一条折线能够将一个平面分成两块，问n条折线能够将平面分成几个分割平面。

我们还是按照前面的方法来，不过有一点不一样，那就是，折线我们可以看成是两条线段构成的，所以，第n条折线的两条线段的每一条都能与其余的（n-1）条折线的两条线段有2 *（n
– 1）个交点，所以总共有4* （n - 1）个交点，能够组成4 *（n - 1）条线段和2条是射线，但是，由于这些线段中有两条适合在一起成为一个角的，所以，线段的数量要减去1。

综上：

F(n)= F(n-1) + 2 + 4 *（n - 1）- 1。

解得：F(n) = 2 * n * n – n + 1！