二叉树的总结

 一，二叉树的定义 

    二叉树(Binary   tree)是n(n≥0)个结点的有限集合。若n=0时称为空树，否则：

    ⑴有且只有一个特殊的称为树的根(Root)结点；

    ⑵若n>1时，其余的结点被分成为二个互不相交的子集T1,T2，分别称之为左、右子树，并且左、右子树又都是二叉树。

    由此可知，二叉树的定义是递归的。

     二叉树在树结构中起着非常重要的作用。因为二叉树结构简单，存储效率高，树的操作算法相对简单，且任何树都很容易转化成二叉树结构。

二，二叉树的基本形态






三，二叉树的性质

性质1：在非空二叉树中，第i层上至多有2i-1个结点(i≧1)。

性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≧1) 

性质3：对任何一棵二叉树，若其叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

    证明：设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，则有：N=n0+n1+n2
再看二叉树中的分支数：

    除根结点外，其余每个结点都有唯一的一个进入分支，而所有这些分支都是由度为1和2的结点射出的。设B为二叉树中的分支总数，则有：      N=B+1

        ∴     B＝n1+2*n2         

        ∴     N=B+1=n1+2*n2+1

        ∴     n0+n1+n2=n1+2*n2+1

       即      n0=n2+1                                         

四，满二叉树和完全二叉树

     一棵深度为k且有 2^k -1 个结点的二叉树称为满二叉树(Full Binary Tree)。

      满二叉树的特点：

     ◆ 基本特点是每一层上的结点数总是最大结点数。

     ◆ 满二叉树的所有的支结点都有左、右子树。

     ◆ 可对满二叉树的结点进行连续编号，若规定从根结点开始，按“自上而下、自左至右”的原则进行。

      完全二叉树(Complete Binary Tree)：如果深度为k，由n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应，该二叉树称为完全二叉树。 或深度为k的满二叉树中编号从1到n的前n个结点构成了一棵深度为k的完全二叉树。 其中 2^(k-1 )≦n≦2^k-1 。

       完全二叉树是满二叉树的一部分，而满二叉树是完全二叉树的特例。

       完全二叉树的特点：

       若完全二叉树的深度为k，则所有的叶子结点都出现在第k层或k-1层。对于任一结点，如果其右子树的最大层次为l，则其左子树的最大层次为l或l+1。

     性质4：n个结点的完全二叉树深度为：[log2n]+1

    性质5：若对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序自左至右进行编号,则对于编号为i（1≦i≦n)的结点：

     ⑴ 若i=1：则结点i是二叉树的根，无双亲结点；否则，若i>1，则其双亲结点编号是[ i/2 ]。

      ⑵ 如果2i>n：则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子结点编号是2i。

     ⑶ 如果2i+1>n：则结点i无右孩子；否则，其右孩子结点编号是2i+1。

五，二叉树的存储

1，顺序存储结构

用  一组地址连续的存储单元依次“自上而下、自左至右”存储完全二叉树的数据元素。

      对于完全二叉树上编号为i的结点元素存储在一维数组的下标值为i-1的分量中，

     对于一般的二叉树，将其每个结点与完全二叉树上的结点相对照，存储在一维数组中。

    

 

2，链式存储结构

    

① 二叉链表结点。有三个域：一个数据域，两个分别指向左右子结点的指针域。

    typedef  struct  BTNode

    {  

           ElemType  data ;

           structBTNode  *Lchild, *Rchild;

     }BTNode;

    三叉链表结点。除二叉链表的三个域外，再增加一个指针域，用来指向结点的父结点，如图6-7(b)所示。

    typedef  struct   BTNode_3

   {   

         ElemType  data ;

         structBTNode_3  *Lchild, *Rchild, *parent ;

    }BTNode_3;

   


六，二叉树的遍历

    遍历二叉树(TraversingBinary Tree)：是指按指定的规律对二叉树中的每个结点访问一次且仅访问一次。

    若以L、D、R分别表示遍历左子树、遍历根结点和遍历右子树，则有六种遍历方案：DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD。若规定先左后右，则只有前三种情况三种情况，分别是：

    DLR——先(根)序遍历。

    LDR——中(根)序遍历。

    LRD——后(根)序遍历。

1，先序遍历

递归算法：

       若二叉树为空，则遍历结束；否则

       ⑴访问根结点；

      ⑵先序遍历左子树(递归调用本算法)；

      ⑶先序遍历右子树(递归调用本算法)。

void  PreorderTraverse(BTNode  *T)
{  
if  (T!=NULL) 
    { 
visit(T->data) ;       /*  访问根结点  */
       PreorderTraverse(T->Lchild) ;
       PreorderTraverse(T->Rchild) ;     
    }
}

 

 非递归算法：

设T是指向二叉树根结点的指针变量，非递归算法是：

    若二叉树为空，则返回；否则，令p=T；

   ⑴ 访问p所指向的结点；

   ⑵ q=p->Rchild，若q不为空，则q进栈；

   ⑶ p=p->Lchild，若p不为空，转(1)，否则转(4)；

  ⑷  退栈到p ，转(1)，直到栈空为止。

#define  MAX_NODE  50
void  PreorderTraverse( BTNode  *T)
{
BTNode  *Stack[MAX_NODE] ,*p=T, *q ;
int  top=0 ;
if  (T==NULL)  printf(" Binary Tree is Empty!\n") ;
else
{
do
{
visit( p-> data ) ;
q=p->Rchild ;
if  ( q!=NULL )  stack[++top]=q ;
p=p->Lchild ;
if (p==NULL)
{
p=stack[top] ;
top-- ;
}
}while (p!=NULL) ;
}
}

同理，

2，中序遍历：

递归算法：

void  InorderTraverse(BTNode  *T)
{
if  (T!=NULL)
{
InorderTraverse(T->Lchild) ;
visit(T->data) ;       /*   访问根结点   */
InorderTraverse(T->Rchild) ;
}
}

非递归算法：

#define MAX_NODE  50
void  InorderTraverse( BTNode  *T)
{
BTNode  *Stack[MAX_NODE] ,*p=T ;
int  top=0 , bool=1 ;
if  (T==NULL)  printf("Binary Tree is Empty!\n") ;
else
{
do
{
while (p!=NULL)
{
stack[++top]=p ;
p=p->Lchild ;
}
if  (top==0)  bool=0 ;
else
{
p=stack[top] ;
top-- ;
visit( p->data ) ;
p=p->Rchild ;
}
}while (bool!=0) ;
}
}

3，后序遍历

递归算法：

void  PostorderTraverse(BTNode  *T)
{
if  (T!=NULL)
{
PostorderTraverse(T->Lchild) ;
PostorderTraverse(T->Rchild) ;
visit(T->data) ;       /*  访问根结点  */
}
}

非递归算法：

#define MAX_NODE  50
void  PostorderTraverse( BTNode  *T)
{
BTNode  *S1[MAX_NODE] ,*p=T ;
int S2[MAX_NODE] , top=0 , bool=1 ;
if  (T==NULL)  printf("Binary Tree is Empty!\n") ;
else
{
do
{
while (p!=NULL)
{
S1[++top]=p ;
S2[top]=0 ;
p=p->Lchild ;
}
if  (top==0)  bool=0 ;
else if  (S2[top]==0)
{
p=S1[top]->Rchild ;
S2[top]=1 ;
}
else
{
p=S1[top] ;
top-- ;
visit( p->data ) ;
p=NULL ;
/*  使循环继续进行而不至于死循环 */
}
}while (bool!=0) ;
}
}

4，层次遍历

层 次遍历二叉树，是从根结点开始遍历，按层次次序“自上而下，从左至右”访问树中的各结点。

    设T是指向根结点的指针变量，层次遍历非递归算法是：

    若二叉树为空，则返回；否则，令p=T，p入队；

     ⑴队首元素出队到p；

     ⑵访问p所指向的结点；

     ⑶将p所指向的结点的左、右子结点依次入队。直到队空为止。

#define MAX_NODE  50
void  LevelorderTraverse( BTNode  *T)
{
BTNode  *Queue[MAX_NODE] ,*p=T ;
int  front=0 , rear=0 ;
if  (p!=NULL)
{
Queue[++rear]=p;    /*   根结点入队  */
while (front<rear)
{
p=Queue[++front];
visit( p->data );
if (p->Lchild!=NULL)
Queue[++rear]=p->Lchild;    /*   左结点入队  */
if (p->Rchild!=NULL)
Queue[++rear]=p->Rchild;    /*   左结点入队  */
}
}
}