[复变函数]第02堂课 1.1 复数 (续)

4. 一些概念及性质

(1) $$\beex \bea z=x\in\bbR&\quad\mbox{实数},\\ z=x+iy\ (y\neq 0)&\quad\mbox{虚数},\\ z=iy\ (y\neq 0)&\quad\mbox{纯虚数}. \eea \eeex$$

(2) 代数恒等式在复数域上仍然成立, 比如 $$\bex a^2-b^2=(a+b)(a-b),\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \eex$$

(3) 设 $z=x+iy\equiv \Re z+i\Im z$, 则 $$\bex |\Re z|\leq |z|,\quad |\Im z|\leq |z|, \eex$$ $$\bex (\mbox{三角不等式})\quad ||z_1|-|z_2||\leq |z_1\pm z_2|\leq |z_1|+|z_2|. \eex$$

(4) 主辐角与 $\arctan\cfrac{y}{x}$ 的关系 (画图即知).

5. 一些例子:

(1) 化 $1-\cos\phi+i\sin\phi$ 为指数形式.

(2) 求 $w=\cfrac{1+z}{1-z}\ (z\neq 1)$ 的实部、虚部及模.

(3) 验证 $$\beex \bea |z_1+z_2|^2&=|z_1|^2+|z_2|^2+2\Re (z_1\bar z_2),\\ (\mbox{平行四边形法则})&|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2). \eea \eeex$$

(4) 证明: $$\bex |a|<1,\quad |b|<1\ra \sev{\cfrac{a-b}{1-\bar ab}}<1. \eex$$

6. 在几何中的应用

(1) 直线段的表示: $$\bex [z_1,z_2]=\sed{z_1+t(z_2-z_1);\ 0\leq t\leq 1}. \eex$$

(2) 圆、实轴、虚轴: $$\bex |z-z_0|=R,\quad \Im z=0,\quad \Re z=0. \eex$$

(3) $z_1,z_2,z_3$ 为等边三角形 $\lra z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$. (4) 证明三角形的内角和为 $\pi$.

作业: 第一章习题 T 7, T 8.