背包问题总结第二讲——0-1背包

题目：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品占用的空间是c[i]，价值是w[i]，物品不可拆分，求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路：
    这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放，不能拆开。
    由于物品是不能拆开的，所以第一讲里边的贪心规则就不再适用了，因为有可能放入物品x后，剩余的空间不够放其他的任何一件物品，则导致空间空闲，从而使其总体上的单位体积的价值降低。
    用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

则其状态转移方程便是：

             

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

    这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

代码：

 

#include <iostream>

#include <vector>

#include <algorithm>

#include <memory.h>

#define MAX 100

using namespace std;

//f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

int max(int a,int b)

{

    cout<<"a is "<<a<<endl;

    cout<<"b is "<<b<<endl;

    return a>b?a:b;

}

int main()

{

    int f[MAX][MAX];

    int i,j,k;

    int case_num;

    int n,c[MAX],w[MAX],v;

    memset(f,0,sizeof(f));

    for(i=0 ; i<=MAX ; i++)

    {

        f[0][i] = 0;

        f[i][0] = 0;

    }

    cin>>case_num;

    while(case_num--)

    {

        cin>>v>>n;              //get v of the bag && number n of things

        for(i=1 ; i<=n ; i++)

        {

            cin>>c[i]>>w[i];    

        }

        for(j=1 ; j<=v ; j++)

        {

            for(i=1 ; i<=n ; i++)

            {

                if(j - c[i] < 0)

                {

                    f[i][j] = f[i-1][j];

                }

                else

                {

                    f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);

                }

            }

        }

        cout<<"result is "<<f
[v]<<endl;

    }

    return 0;

}