[实变函数]5.0 引言

1 我们的经验是长度公理: 对直线上的一些点集构成的集族, 指定其上的一个函数 $m$, 使得

(1) 非负性 (non-negativity): $mE\geq 0$;

(2) 有限可加性 (finitely additivity): 若 $\sed{E_i}_{i=1}^j$ 互不相交, 则 $$\bex m(E_1\cup \cdots\cup E_j)==mE_1+\cdots+mE_j; \eex$$

(3) 正则性 (unity): $m([0,1])=1$.

2 Lebesgue (为了使更多的集合可求长度, 而使得更多的函数可积分) 将其推广为

(1) 非负性 (non-negativity): $mE\geq 0$;

(2) 可数可加性 (countably additivity): 若 $\sed{E_i}_{i=1}^\infty$ 互不相交, 则 $$\bex m\sex{\cup_{i=1}^\infty E_i} =\sum_{i=1}^\infty mE_i; \eex$$

(3) 正则性 (unity): $m([0,1])=1$.

这就是我们本章要学习的 ``测度''.