张恭庆编《泛函分析讲义》第一章第3节 列紧性习题解答

1.集列紧的一充要条件

在完备的度量空间中求证: 为了子集 $A$ 是列紧的, 其充分必要条件是对 $\forall\ \ve>0$, 存在 $A$ 的列紧的 $\ve$ 网.

证明: $\ra$ 由 $A$ 是列紧的知 $A$ 是完全有界的, 即 $\forall\ \ve>0$, 存在 $A$ 的有穷 $\ve$ 网. 自然有穷集是列紧的. $\la$ 设对 $\forall\ \ve>0$, 存在 $A$ 的列紧的 $\ve/2$ 网 $B$, 则由 $B$ 列紧(而完全有界)知存在 $B$ 的有穷 $\ve/2$ 网 $C$, 而 $C$ 是 $A$ 的有穷 $\ve$ 网, 于是 $A$ 完全有界, 列紧.

2.紧集上连续函数的性质

在度量空间中求证: 紧集上的连续函数必是有界的, 并且达到它的上, 下确界.

证明: 设 $(\scrX,\rho)$ 是度量空间, $M$ 为其一紧子集(而为自列紧的), 再设 $f:M\to \bbR$ 连续, 则

(1)$f$ 有界. 只看上界的情形, 用反证法. 若 $f$ 无上界, 则 $$\bex \exists\ x_n\in M,\ f(x_n)\to+\infty. \eex$$ 但 $\sed{x_n}$ 有子列 $x_{n_k}\to \tilde x\in M$, 而 $$\bex f(\tilde x)=f\sex{\lim_{k\to\infty}x_{n_k}} =\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=+\infty, \eex$$ 这是一个矛盾.

(2)$f$ 能达到上, 下确界. 同样, 只看上确界的情形. 由定义, $$\bex \exists\ x_n\in M,\ s.t.\ \sup_M f-\frac{1}{n} \leq f(x_n) \leq \sup_M f. \eex$$ 由 $\sed{x_n}$ 有子列 $x_{n_k}\to x_0\in M$ 知 $$\bex f(x_0)=\sup_M f. \eex$$

3.有界与完全有界的关系

在度量空间中求证: 完全有界的集合是有界的, 并通过考虑 $\ell^2$ 的子集 $E=\sed{e_k}_{k=1}^\infty$, 其中$$\bex e_k=(\underbrace{0,0,\cdots,1}_{\mbox{$k$个}},0,\cdots), \eex$$来说明一个集合可以是有界但不完全有界.

证明: 设 $A$ 是完全有界集, 则存在 $A$ 的有穷 $1$ 网, 即 $$\bex A\subset \cup_{i=1}^n B(x_i,1), \eex$$ 而 $$\bex A\subset B\sex{x_1,\sum_{i=1}^{n-1}\rho(x_i,x_{i+1})+1}. \eex$$ 现考虑 $\ell^2$ 的子集 $E=\sed{e_k}_{k=1}^\infty$, 由 $$\bex \rho(e_k,\theta)=0,\ \theta=\sex{0,0,\cdots} \eex$$ 知它是有界的; 但由 $$\bex \rho(e_i,e_j)=\sqrt{2}\quad (i\neq j) \eex$$ 知 $E$ 不是列紧的, 而不完全有界.

4.距离的可达性

设 $(\scrX,\rho)$ 是度量空间, $F_1,F_2$ 是它的两个紧子集, 求证: $$\bex \exists\ x_i\in F_i\ (i=1,2),\ s.t.\ \rho(F_1,F_2)=\rho(x_1,x_2), \eex$$ 其中 $$\bex \rho(F_1,F_2)=\inf\sed{\rho(x,y);\ x\in F_1,\ y\in F_2}. \eex$$

证明: 记 $d=\rho(F_1,F_2)$, 则由定义, $$\bex \exists\ x^1_n\in F_1,\ x^2_n\in F_2,\ s.t.\ d\leq \rho(x^1_n,x^2_n)<d+\frac{1}{n}. \eex$$ 现 $F_1,F_2$ 紧而自列紧, $x^1_n$ 有子列 $x^1_{n_k}\to x_1\in F_1$, $x^2_{n_k}$ 有子列 $x^2_{n_{k_j}}\to x_2\in F_2$. 于 $$\bex d\leq \rho\sex{x^1_{n_{k_j}},x^2_{n_{k_j}}} <d+\frac{1}{n_{k_j}} \eex$$ 中令 $j\to \infty$ 有 $\rho(x_1,x_2)=d=\rho(F_1,F_2)$.

5.列紧集的例子

设 $M$ 是 $C[a,b]$ 上的有界集, 求证: 集合 $$\bex \sed{F(x)=\int_0^x f(t)\rd t;\ f\in M} \eex$$ 是列紧集.

证明: 设 $\dps{\sup_{f\in M}\sup_{[a,b]}\sev{f}=A<\infty}$, 则由 $$\bex x\in [a,b]\ra \sev{F(x)} \leq \sup_{[a,x]}\sev{f}\cdot (x-a) \leq A(b-a)<\infty, \eex$$ $$\bex \sev{F(x_1)-F(x_2)}=\sev{\int_{x_1}^{x_2}f(t)\rd t} \leq A\sev{x_1-x_2} \eex$$ 及 $Arzela-Ascoli$ 定理知题中所述集合是列紧的.

6.非列紧集的例子

设 $E=\sed{\sin nt}_{n=1}^\infty$, 求证: $E$ 在 $C[0,\pi]$ 中不是列紧的.

证明: 仅须验证 $E$ 不是等度连续的. 事实上, 当 $n$ 充分大时, $$\bex \sev{\frac{\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}} =\frac{\pi}{2n} \eex$$ 可任意小, 但 $$\bex \sev{\sin n\cdot \frac{\pi}{n} -\sin n\cdot \frac{\pi}{2n}}=1. \eex$$

7.空间 $S$中子集列紧的充要条件

求证 $S$ 空间的子集 $A$ 列紧的充要条件是 $$\bex \forall\ n\in \bbN,\ \exists\ C_n>0,\ s.t.\ x=\sex{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,\cdots}\in A\ra \sev{\xi_n}\leq C_n. \eex$$

证明: $\ra$ 设 $A$ 是列紧的, 从而完全有界, 于是对 $\forall\ n\in \bbN$, 存在 $A$ 的有穷 $\dps{\frac{1}{2^{n+1}}}$ 网 $B=\sed{y_1,y_2,\cdots,y_{k(n)}}$, 其中 $y_i=\sed{\xi^i_n}_{n=1}^\infty$, $1\leq i\leq k(n)$. 取 $$\bex C_n=\max_{1\leq i\leq k(n)}\sev{\xi^i_n}+1, \eex$$ 则 $$\bex x\in A&\ra& \exists\ 1\leq j\leq k(n),\ s.t.\ \rho(x,x_j)<\frac{1}{2^{n+1}}\\ &\ra&\frac{1}{2^n}\frac{\sev{\xi^j_n-\xi_n}} {1+\sev{\xi^j_n-\xi_n}}<\frac{1}{2^{n+1}}\\ &\ra&\sev{\xi^j_n-\xi_n}<1\\ &\ra&\sev{\xi_n}\leq \sev{\xi^j_n-\xi_n}+\sev{\xi^j_n} \leq C_n. \eex$$ $\la$ 由题1, 我们仅须构造 $A$ 的列紧的 $\ve$ 网. 实际上, 对 $\forall\ \ve>0$, 取 $n$ 充分大使 $\dps{\frac{1}{2^n}<\ve}$. 考虑 $$\bex B=\sed{\tilde x=\sex{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,0,\cdots}; \ x=\sex{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,\cdots}\in A}, \eex$$ 则

(1)$B$ 是 $A$ 的 $\ve$ 网, 则是因为 $$\bex x\in A\ra \rho(x,\tilde x) =\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{2^k} \frac{\sev{\xi_k}}{1+\sev{\xi_k}} \leq \frac{1}{2^n} <\ve. \eex$$

(2)$B$ 是列紧的. 这是因为 $B$ 可看作是 $\bbR^n$ 中有界 (为$C_n$) 的子集.

注记: 充分性亦可用著名的 $Cantor$ 对角线法直接构造收敛的子列.

8.非扩张映射不动点的存在唯一性

设 $(\scrX,\rho)$ 是度量空间, $M$ 是 $\scrX$ 中的列紧集, 映射 $f:\scrX\to M$ 满足 $$\bex \rho(f(x_1),f(x_2))<\rho(x_1,x_2)\quad (\forall\ x_1,x_2\in \scrX,\ x_1\neq x_2). \eex$$ 求证: $f$ 在 $\scrX$ 中存在唯一的不动点.

证明: 唯一性已在第一章第1节第3题中证出. 往证存在性. 记 $F(x)=\rho(x,f(x))$, $x\in \bar M$. 则由题2 知 $$\bex \exists\ x_0\in \bar M,\ s.t.\ F(x_0)=\min_{\bar M} F. \eex$$ 我们断言 $F(x_0)=0$, 即 $x_0$ 为 $f$ 之一不动点. 用反证法. 若 $F(x_0)>0$, 则 $$\bex F(x_0) \leq \rho(f(x_0),f(f(x_0))) <\rho(x_0,f(x_0)) =F(x_0). \eex$$ 这是一个矛盾.

9.集列紧的一个充分条件

设 $(M,\rho)$ 是一个紧距离空间, 又 $E\subset C(M)$, $E$ 中的函数一致有界并满足下列 $H\ddot{o}lder$ 条件 $$\bex \sev{x(t_1)-x(t_2)} \leq C\rho(t_1,t_2)^\alpha\quad (\forall\ x\in E,\ \forall\ t_1,t_2\in M), \eex$$ 其中 $0<\alpha\leq 1$, $C>0$, 求证 $E$ 在 $C(M)$ 中是列紧集.

证明: 由 $Arzela-Ascoli$ 定理, 仅须验证 $E$ 是等度连续的. 事实上, $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta=\sex{\frac{\ve}{C}}^\frac{1}{\alpha}>0,\ s.t.\ \rho(t_1,t_2)<\delta\ra \sev{x(t_1)-x(t_2)}<\ve. \eex$$