整数拆分问题

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都涉及到。

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

n=m1+m2+m3+....+mi;（其中mi为正整数，并且1<=mi<=n），则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m，即max{m1,m2,m3,....,mi}
<= m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)；

例如当n=4时，它有5个划分：{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1}；

注意：4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

（一）方法一——递归法

根据n和m的关系，考虑下面几种情况：

（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即{1}；

（2）当m=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种划分，即{1,1,....1,1,1}；

（3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

（a）划分中包含n的情况，只有一个，即{n}；

（b）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）划分；

因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

（4）当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n)；

（5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：

（a）划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；

（b）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n, m - 1)；

因此，f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

综合以上各种情况，可以看出，上面的结论具有递归定义的特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，而情况（5）为通用情况，属于递归的方法，其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件，从而解决问题。

其递归表达式如下所示。



（二）方法二——母函数

下面我们从另一个角度，即“母函数”的角度来考虑这个问题。

所谓母函数，即为关于x的一个多项式G(x)：

有G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......

则我们称G(x)为序列(a0, a1, a2,.....)的母函数。关于母函数的思路我们不做更过分析。

我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，.....，i的个数记为ai，

显然有：ak <= n/k（0<= k <=n）

因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使它们的综合为n。显然，数字i可以有如下可能，出现0次（即不出现），1次，2次，......，k次等等。把数字i用（x^i）表示，出现k次的数字i用（x^(i*k)）表示，不出现用1表示。

例如，数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。

则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

G(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)

= g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)

= a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展开式

上面的表达式中，每个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此，该多项式展开后，由于x^a *x^b = x^(a+b)，因此x^i就代表了i的划分，展开后（x^i）项的系数也就是i的所有划分个数，即f(n,n)
= an。

由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x)；剩下的问题就是，我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

为此，我们首先要做多项式乘法，对于我们来说，并不困难。我们把一个关于x的多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a
x^n;

则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c中。

（三）代码实现

/*----------------------------------------------

* Author :梦醒潇湘love

* Date :2013-02-28

* Email :9974**140@qq.com

* Copyright:anyone

-----------------------------------------------*/

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

#define DEBUG

//递归法求解整数划分

unsigned long GetPartitionCount(int n, int max)

{

if(n == 1 || max == 1)

{

return 1;

}

if(n < max)

{

return GetPartitionCount(n, n);

}

if(n == max)

{

return 1 + GetPartitionCount(n, n - 1);

}

else

{

return GetPartitionCount(n - max, max) + GetPartitionCount(n, max - 1);

}

}

//母函数法求整数划分

#define MAXNUM 100 //最高次数

unsigned long a[MAXNUM];

unsigned long b[MAXNUM];

unsigned long c[MAXNUM]; //保存结果

//两个多项式进行乘法，系数分别保存在a和b中，结果保存到c，项的最大次数到MAXNUM

void Poly()

{

int i;

int j;

memset(c, 0, sizeof(c));

for(i = 0; i < MAXNUM; i++)

{

for(j = 0; j < MAXNUM - i; j++) //j < MAXNUM - i,确保i+j不越界

{

c[i + j] += a[i] * b[j];

}

}

}

//计算前N项的系数，即g(x,1)*g(x,2)*....*g(x,n)的展开结果

void Init(int m)

{

int i;

int j;

memset(a, 0, sizeof(a));

memset(c, 0, sizeof(c));

//第一个多项式:g(x) = x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n

for(i = 0; i < MAXNUM; i++)

{

a[i] = 1;

}

//for(j = 2; j <= MAXNUM; j++)//只能求f(n,n)

//通过修改这里，使得可以求f(n,m)，对于任意的正整数n,m都适合

for(j = 2; j <= m; j++)

{

memset(b, 0, sizeof(b));

//第i个多项式:g(x) = x^0 + x^i + x^(2k) + ...

for(i = 0; i <= MAXNUM; i += j)

{

b[i] = 1;

}

//多项式相乘:c = a * b

Poly();

//将结果c保存到a中

memcpy(a, c, sizeof(c));

}

}

//母函数方法得出整数划分相应的划分数目

//n:整数

//m:划分方法

void CalPrint(int n, int m)

{

if(n < m)

{

Init(n);

//由于n小于m，此时按n == m打印

printf("由于n小于m，所有(%d,%d) = (%d,%d) = %ldn", n, m, n, n, c[n]);

}

else

{

Init(m);

printf("整数划分(%d,%d)方法数目f(%d,%d) = %ldn", n, m, n, m, c[n]);

}

}

int main(int argc, char **argv)

{

int n;

int m;

unsigned long count;

printf("请输入要划分的整数:n");

scanf("%d", &n);

printf("请输入划分数:n");

scanf("%d", &m);

if(n <= 0)

{

fprintf(stderr, "输入的整数不能为非正数.n");

return -1;

}

if(m <= 0)

{

fprintf(stderr, "输入的划分数不能为非正数.n");

return -1;

}

count = GetPartitionCount(n, m);

printf("方法一：递归法n");

printf("整数划分（%d,%d)的方法数为：%dnn", n, m, count);

printf("方法二：母函数法n");

CalPrint(n,m);

#ifdef DEBUG

int i = 0;

for( i = 0; i < MAXNUM; i++)

{

printf("%9ld ", c[i]);

if((i + 1) % 10 == 0)

{

printf("n");

}

}

printf("n");

#endif

return 0;

}

测试结果：



希望母函数的实现是正确的，如果您发现错误，请帮助指出，谢谢您。

参考：http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/

下面这个帖子讲的也很好：http://www.cnblogs.com/xiaoxian1369/archive/2011/09/12/2174212.html