No.2：完全背包问题

题目

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这个问题十分类似01背包，不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。于是得：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]} 其中0<=k*c[i]<=v


（图中只是假设值在那里）

仔细观察，f[i][v-k*c[i]]正好是由以下状态决定；那么f[i][v]正好就是由f[i-1][v]和f[i][v-k*c[i]]决定，这里的k=1，也就成了f[i][v-c[i]]；其意义为：若不选取第i种物品，当前最优结果f[i][v]显然等于f[i-1][v]；若选取第i种物品，则可由之前选取了若干个第i种物品的最优解再加一个第i种物品得到。


->


于是状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]}

然后又和以前一样，优化为一维数组：

for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

你会发现这与01背包的伪代码差别只有v的循环次序不同而已，仔细想想就能理解为什么。