第六章：求解500万以内的亲和数

亲和数问题

题目描述：

求500万以内的所有亲和数

如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。

例如220和284，1184和1210，2620和2924。

注：

亲和数问题最早是由毕达哥拉斯学派发现和研究的。他们在研究数字的规律的时候发现有以下性质特点的两个数：

220的真因子是：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110；

284的真因子是：1、2、4、71、142。

而这两个数恰恰等于对方的真因子各自加起来的和（sum[i]表示数i 的各个真因子的和），即

220=1+2+4+71+142=sum[284],

284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=sum[220]。

得284的真因子之和sum[284]=220，且220的真因子之和sum[220]=284，即有sum[220]=sum[sum[284]]=284。

伴随数组线性遍历

//求解亲和数问题

//第一个for和第二个for循环是logn（调和级数）*N次遍历,第三个for循环扫描O（N）。
//所以总的时间复杂度为 O（n*logn）+O（n）=O（N*logN）（其中logN为调和级数）。

//关于第一个for和第二个for寻找中，调和级数的说明：
//比如给2的倍数加2，那么应该是  n/2次，3的倍数加3 应该是 n/3次，...
//那么其实就是n*（1+1/2+1/3+1/4+...1/(n/2)）=n*（调和级数）=n*logn。

//copyright@ 上善若水
//July、updated，2011.05.24。
#include<stdio.h>

int sum[5000010];   //为防越界

int main()
{
int i, j;
for (i = 0; i <= 5000000; i++)
sum[i] = 1;  //1是所有数的真因数所以全部置1

for (i = 2; i + i <= 5000000; i++)  //预处理，预处理是logN（调和级数）*N。
//@litaoye：调和级数1/2 + 1/3 + 1/4......的和近似为ln(n)，
//因此O(n *(1/2 + 1/3 + 1/4......)) = O(n * ln(n)) = O(N*log(N))。
{
//5000000以下最大的真因数是不超过它的一半的
j = i + i;  //因为真因数，所以不能算本身，所以从它的2倍开始
while (j <= 5000000)
{
//将所有i的倍数的位置上加i
sum[j] += i;
j += i;
}
}

for (i = 220; i <= 5000000; i++)   //扫描，O（N）。
{
// 一次遍历，因为知道最小是220和284因此从220开始
if (sum[i] > i && sum[i] <= 5000000 && sum[sum[i]] == i)
{
//去重，不越界，满足亲和
printf("%d %d\n",i,sum[i]);
}
}
return 0;
}