函数可微的一个充分条件

设函数 $f:\bbR^n\to \bbR$ 在 $\bbR^n\bs \sed{0}$ 可微, 在 $0$ 连续, 且 $$\bex\lim_{\bbx\to0}\frac{\p f(\bbx)}{\p x_i}=0,\ i=1,2,\cdots,n. \eex$$ 证明 $f$ 在 $0$ 可微. 证明: 由 $$\beex \bea |f(\bbx)-f(0)| &\leq |f(x_1,x_2,\cdots,x_n)-f(0,x_2,\cdots,x_n)|\\ &\quad +|f(0,x_2,\cdots,x_n)-f(0,0,\cdots,x_n)|\\ &\quad+\cdots +|f(0,0,\cdots,x_n)-f(0,0,\cdots,0)|\\ &=\sum_{i=1}^n\sev{\frac{\p f}{\p x_i}(\xi_i)}\cdot |x_i| \eea \eeex$$ 知 $$\bex \lim_{\bbx\to 0}\frac{|f(\bbx)-f(0)|}{|\bbx|}=0. \eex$$ 故有结论.