最大公约数（辗转相除法）

引自百度


原理依据：

设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。

算法：

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则

gcd(a,b) = gcd(b,r)

2. a 和其倍数之最大公因子为 a。

另一种写法是：

1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r<b）

若 r = 0，算法结束；b 即为答案。

2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步  

JAVA语言的算法实现：

public static int gcd(int a, int b) {
if (a < b) {
int temp;
temp = a;
a = b;
b = temp;
}
int r = a % b;
if (r == 0)
return b;
return gcd(a, r);
}