动态规划——最长连续子序列和+最大子矩阵和

问题：给一列数n个，求最大连续子序列和（即连续的子序列中和最大的序列）若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素 本文作者 凌风 csdn （iaccepted）

拓展：给一个n*n的矩阵，求其中和最大的子矩阵（即所有子矩阵中和最大的阵）

首先也是从最简单的着手，拿到问题，很容易想到的就是直接爆搜(求所有可能的子序列和并找出最大的即可)时间复杂度为n^2

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <limits.h>

#define N 10002
/*
problem:求最大连续子序列的问题dp
time：n^2
*/

int main(){
	int a
,i,j,maxx,sum,n,ps,pe;

	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;++i){
		scanf("%d",&a[i]);
	}

	maxx = INT_MIN;//初始为最小整数
	for(i=0;i<n;++i){
		sum = 0;
		for(j=i;j<n;++j){//i，j两个子循环来遍历所有的子序列并计算其和(a[i]加到a[j])
			sum += a[j];
			if(sum>maxx){//把和大的保留并记录下最大序列的始末位置ps、pe
				maxx = sum;
				ps = i;
				pe = j;
			}
		}
	}
	printf("%d %d %d\n",maxx,a[ps],a[pe]);
}

上面的这段代码思路非常的清晰也便于理解，但是数据量大的话时间消耗也会很大，当然ACM的要求肯定是达不到了，现在做时间复杂度为n的算法来解决该问题。

该算法基于的思想也很简单，最大连续子序列和的第一个元素不可能是负数，这点很好证明（反证），假设a[i…j]为最大的连续子序列且a[i]为负，那我a[i+1…j]的和将会大于a[i…j]的和，所以与原假设矛盾，这就能推出最大子序列和的第一个元素不可能是负数。得到这个结论我们就可以进一步进行推广，那就是如果一个子序列的和为负数，那么这个序列不可能是最大连续子序列中的开始的一段序列（类似于第一个元素的方法可得到证明即把这段和看做是一个元素）。根据这一思想就可以得到本体线性的算法。

作者博客：http://blog.csdn.net/iaccepted，欢迎交流

本文作者 凌风 csdn（iaccepted）

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <limits.h>

#define N 10002

int main(){
	int a
,maxx,i,n,sum,ps,pe,ts,te;

	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;++i){
		scanf("%d",&a[i]);
	}

	sum = 0;
	maxx = INT_MIN;

	for(i=0;i<n;++i){
		if(sum<=0){//如果前面的和为负，则前面的序列舍掉从本元素开始重新确定新序列
			sum = a[i];
			ts = i;
			te = i;
		}else{//如果前面的和为正，则可能出现在最大序列中，所以要继续累加
			sum += a[i];
			te = i;
		}

		if(sum>maxx){//记录下最大子序列和及起始和结束位置
			maxx = sum;
			ps = ts;
			pe = te;
		}
	}

	printf("%d %d %d\n",maxx,a[ps],a[pe]);
	return 0;
}

至此，最大连续子序列问题得到解决。

本文作者 凌风 csdn（iaccepted）

作者博客：http://blog.csdn.net/iaccepted，欢迎交流

下面记录下最大子矩阵和的求法。

其实最大子矩阵和的算法就是最大连续子序列的一个拓展问题，思路很简单，就是将矩阵先预处理下，按列累加，然后通过三个循环变量来遍历所有的子矩阵，对每个子矩阵以列和为元素转化为n个元素序列求最大连续子序列的问题就可以了。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define N 102

int main(){
	int a

;
	int k,i,j,n,sum,maxx,i2,i1;

	while(scanf("%d",&n)!=EOF){

		for(i=0;i<=n;++i)a[0][i]=a[i][0]=0;
		for(i=1;i<=n;++i){
			for(j=1;j<=n;++j){
				scanf("%d",&a[i][j]);
				a[i][j]+=a[i-1][j];//这里就是矩阵预处理即列进行累加和
			}
		}
		maxx = -129;
		for(i1=0;i1<n;++i1){//子矩阵的行的上边界
			for(i2=i1+1;i2<=n;++i2){//子矩阵的行的下边界
				sum = 0;
				for(k=1;k<=n;++k){//转化为n个元素中找最大连续子序列的问题每个元素即为a[i2][k]-a[i1][k]
					if(sum<=0)sum = (a[i2][k]-a[i1][k]);
					else sum += (a[i2][k]-a[i1][k]);

					if(sum>maxx)maxx = sum;
				}
			}
		}
		printf("%d\n",maxx);
	}
	return 0;
}