Write a method to count the number of 2s between 0 and n

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Cracking the coding interview--Q20.4

March 1, 2013

作者：Hawstein

出处：http://hawstein.com/posts/20.4.html

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题目

原文：

Write a method to count the number of 2s between 0 and n.

译文：

写一个函数，计算0到n之间2的个数。

解答

最简单直观的方法就是对于0到n之间的数，一个个地去统计2在它们上出现的个数， 然后累加起来即可。求2在某个数上出现的次数需要O(logn)的时间，一共有n个数， 所以共需要O(nlogn)的时间。

代码如下：

int Count2(int n){
int count = 0;
while(n > 0){
if(n%10 == 2)
++count;
n /= 10;
}
return count;
}

int Count2s1(int n){
int count = 0;
for(int i=0; i<=n; ++i)
count += Count2(i);
return count;

}

上述方法最大的问题就是效率，当n非常大时，就需要很长的运行时间。 想要提高效率，就要避开暴力法，从数字中找出规律。对于这道题， 《编程之美》已经给出了很漂亮的解法，这里再简述一下。

假设一个5位数N=abcde，我们现在来考虑百位上出现2的次数，即，从0到abcde的数中， 有多少个数的百位上是2。分析完它，就可以用同样的方法去计算个位，十位，千位， 万位等各个位上出现2的次数。

当百位c为0时，比如说12013，0到12013中哪些数的百位会出现2？我们从小的数起， 200~299, 1200~1299, 2200~2299, … , 11200~11299, 也就是固定低3位为200~299，然后高位依次从0到11，共12个。再往下12200~12299 已经大于12013，因此不再往下。所以，当百位为0时，百位出现2的次数只由更高位决定， 等于更高位数字(12)x当前位数(100)=1200个。

当百位c为1时，比如说12113。分析同上，并且和上面的情况一模一样。 最大也只能到11200~11299，所以百位出现2的次数也是1200个。

上面两步综合起来，可以得到以下结论：

当某一位的数字小于2时，那么该位出现2的次数为：更高位数字x当前位数

当百位c为2时，比如说12213。那么，我们还是有200~299, 1200~1299, 2200~2299, … , 11200~11299这1200个数，他们的百位为2。但同时，还有一部分12200~12213， 共14个(低位数字+1)。所以，当百位数字为2时， 百位出现2的次数既受高位影响也受低位影响，结论如下：

当某一位的数字等于2时，那么该位出现2的次数为：更高位数字x当前位数+低位数字+1

当百位c大于2时，比如说12313，那么固定低3位为200~299，高位依次可以从0到12， 这一次就把12200~12299也包含了，同时也没低位什么事情。因此出现2的次数是： (更高位数字+1)x当前位数。结论如下：

当某一位的数字大于2时，那么该位出现2的次数为：(更高位数字+1)x当前位数

根据上面得出的3条结论，我们可以编写出代码如下：

int Count2s(int n){
int count = 0;
int factor = 1;
int low = 0, cur = 0, high = 0;

while(n/factor != 0){
low = n - (n/factor) * factor;//低位数字
cur = (n/factor) % 10;//当前位数字
high = n / (factor*10);//高位数字

switch(cur){
case 0:
case 1:
count += high * factor;
break;
case 2:
count += high * factor + low + 1;
break;
default:
count += (high + 1) * factor;
break;
}

factor *= 10;
}

return count;
}

如果我们把问题一般化一下：写一个函数，计算0到n之间i出现的次数，i是1到9的数。 这里为了简化，i没有包含0，因为按以上的算法计算0出现的次数， 比如计算0到11间出现的0的次数，会把1，2，3，4…视为01，02，03，04… 从而得出错误的结果。所以0是需要单独考虑的，为了保持一致性，这里不做讨论。 将上面的三条结论应用到这就是：

当某一位的数字小于i时，那么该位出现i的次数为：更高位数字x当前位数
当某一位的数字等于i时，那么该位出现i的次数为：更高位数字x当前位数+低位数字+1
当某一位的数字大于i时，那么该位出现i的次数为：(更高位数字+1)x当前位数

代码如下：

int Countis(int n, int i){
if(i<1 || i>9) return -1;//i只能是1到9

int count = 0;
int factor = 1;
int low = 0, cur = 0, high = 0;

while(n/factor != 0){
low = n - (n/factor) * factor;//低位数字
cur = (n/factor) % 10;//当前位数字
high = n / (factor*10);//高位数字

if(cur < i)
count += high * factor;
else if(cur == i)
count += high * factor + low + 1;
else
count += (high + 1) * factor;

factor *= 10;
}

return count;
}

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Cracking the coding interview–问题与解答

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