RANSAC - Random Sample Consensus

其余重要参考文献:

wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/RANSAC

25
Years of RANSAC:[/u] http://cmp.felk.cvut.cz/ransac-cvpr2006/

c++ example: http://www.mrpt.org/RANSAC_C++_examples

随机抽样一致性算法（RANSAC）

作者：王先荣


本文翻译自维基百科，英文原文地址是：http://en.wikipedia.org/wiki/ransac，如果您英语不错，建议您直接查看原文。


RANSAC是“RANdom SAmple
Consensus（随机抽样一致）”的缩写。它可以从一组包含“局外点”的观测数据集中，通过迭代方式估计数学模型的参数。它是一种不确定的算法——它有一定的概率得出一个合理的结果；为了提高概率必须提高迭代次数。该算法最早由Fischler和Bolles于1981年提出。


RANSAC的基本假设是：

（1）数据由“局内点”组成，例如：数据的分布可以用一些模型参数来解释；

（2）“局外点”是不能适应该模型的数据；

（3）除此之外的数据属于噪声。


局外点产生的原因有：噪声的极值；错误的测量方法；对数据的错误假设。


RANSAC也做了以下假设：给定一组（通常很小的）局内点，存在一个可以估计模型参数的过程；而该模型能够解释或者适用于局内点。


本文内容

1 示例

2 概述

3 算法

4 参数

5 优点与缺点

6 应用

7 参考文献

8 外部链接


一、示例


一个简单的例子是从一组观测数据中找出合适的2维直线。假设观测数据中包含局内点和局外点，其中局内点近似的被直线所通过，而局外点远离于直线。简单的最小二乘法不能找到适应于局内点的直线，原因是最小二乘法尽量去适应包括局外点在内的所有点。相反，RANSAC能得出一个仅仅用局内点计算出模型，并且概率还足够高。但是，RANSAC并不能保证结果一定正确，为了保证算法有足够高的合理概率，我们必须小心的选择算法的参数。


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左图：包含很多局外点的数据集
右图：RANSAC找到的直线（局外点并不影响结果）


二、概述


RANSAC算法的输入是一组观测数据，一个可以解释或者适应于观测数据的参数化模型，一些可信的参数。


RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：


1.有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。


2.用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。


3.如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。


4.然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。


5.最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。


这个过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。


三、算法


伪码形式的算法如下所示：

输入：

data —— 一组观测数据

model —— 适应于数据的模型

n —— 适用于模型的最少数据个数

k —— 算法的迭代次数

t —— 用于决定数据是否适应于模型的阀值

d —— 判定模型是否适用于数据集的数据数目

输出：

best_model —— 跟数据最匹配的模型参数（如果没有找到好的模型，返回null）

best_consensus_set —— 估计出模型的数据点

best_error —— 跟数据相关的估计出的模型错误

iterations = 0

best_model = null

best_consensus_set = null

best_error = 无穷大

while ( iterations < k )


maybe_inliers = 从数据集中随机选择n个点

maybe_model
= 适合于maybe_inliers的模型参数


consensus_set = maybe_inliers

for (
每个数据集中不属于maybe_inliers的点 ）


if (
如果点适合于maybe_model，且错误小于t ）




将点添加到consensus_set

if （
consensus_set中的元素数目大于d ）



已经找到了好的模型，现在测试该模型到底有多好


better_model
= 适合于consensus_set中所有点的模型参数


this_error =
better_model究竟如何适合这些点的度量


if (
this_error < best_error )




我们发现了比以前好的模型，保存该模型直到更好的模型出现



best_model
= better_model




best_consensus_set = consensus_set



best_error
= this_error


增加迭代次数

返回 best_model, best_consensus_set, best_error


RANSAC算法的可能变化包括以下几种：


（1）如果发现了一种足够好的模型（该模型有足够小的错误率），则跳出主循环。这样可能会节约计算额外参数的时间。


（2）直接从maybe_model计算this_error，而不从consensus_set重新估计模型。这样可能会节约比较两种模型错误的时间，但可能会对噪声更敏感。


四、参数


我们不得不根据特定的问题和数据集通过实验来确定参数t和d。然而参数k（迭代次数）可以从理论结果推断。当我们从估计模型参数时，用p表示一些迭代过程中从数据集内随机选取出的点均为局内点的概率；此时，结果模型很可能有用，因此p也表征了算法产生有用结果的概率。用w表示每次从数据集中选取一个局内点的概率，如下式所示：

w = 局内点的数目 /
数据集的数目


通常情况下，我们事先并不知道w的值，但是可以给出一些鲁棒的值。假设估计模型需要选定n个点，w[/i]n[/i]是所有n个点均为局内点的概率；1
− w[/i]n[/i]是n个点中至少有一个点为局外点的概率，此时表明我们从数据集中估计出了一个不好的模型。 (1
− w[/i]n[/i])k[/i]表示算法永远都不会选择到n个点均为局内点的概率，它和1-p相同。因此，

1
− p[/i] =
(1 − w[/i]n[/i])k[/i]


我们对上式的两边取对数，得出



- Random Sample Consensus" TITLE="RANSAC - Random Sample Consensus" />


值得注意的是，这个结果假设n个点都是独立选择的；也就是说，某个点被选定之后，它可能会被后续的迭代过程重复选定到。这种方法通常都不合理，由此推导出的k值被看作是选取不重复点的上限。例如，要从上图中的数据集寻找适合的直线，RANSAC算法通常在每次迭代时选取2个点，计算通过这两点的直线maybe_model，要求这两点必须唯一。


为了得到更可信的参数，标准偏差或它的乘积可以被加到k上。k的标准偏差定义为：



- Random Sample Consensus" TITLE="RANSAC - Random Sample Consensus" />


五、优点与缺点


RANSAC的优点是它能鲁棒的估计模型参数。例如，它能从包含大量局外点的数据集中估计出高精度的参数。RANSAC的缺点是它计算参数的迭代次数没有上限；如果设置迭代次数的上限，得到的结果可能不是最优的结果，甚至可能得到错误的结果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率与迭代次数成正比。RANSAC的另一个缺点是它要求设置跟问题相关的阀值。


RANSAC只能从特定的数据集中估计出一个模型，如果存在两个（或多个）模型，RANSAC不能找到别的模型。


六、应用


RANSAC算法经常用于计算机视觉，例如同时求解相关问题与估计立体摄像机的基础矩阵。


七、参考文献

Martin A. Fischler and Robert C. Bolles (June 1981). "Random Sample
Consensus: A Paradigm for Model Fitting with Applications to Image
Analysis and Automated Cartography".Comm.
of the ACM[/i] 24[/b]:
381–395. doi:10.1145/358669.358692.

David A. Forsyth and Jean Ponce (2003). Computer
Vision, a modern approach[/i]. Prentice
Hall. ISBN 0-13-085198-1.

Richard Hartley and Andrew
Zisserman (2003). Multiple
View Geometry in Computer Vision[/i] (2nd ed.).
Cambridge University Press.

P.H.S. Torr and D.W. Murray (1997). "The Development and Comparison
of Robust Methods for Estimating the Fundamental
Matrix". International
Journal of Computer Vision[/i] 24[/b]:
271–300.doi:10.1023/A:1007927408552.

Ondrej Chum (2005). "Two-View
Geometry Estimation by Random Sample and
Consensus". PhD
Thesis[/i].http://cmp.felk.cvut.cz/~chum/Teze/Chum-PhD.pdf

Sunglok Choi, Taemin Kim, and Wonpil Yu (2009)."Performance
Evaluation of RANSAC Family". In
Proceedings of the British Machine Vision Conference
(BMVC)[/i].http://www.bmva.org/bmvc/2009/Papers/Paper355/Paper355.pdf.


八、外部链接

RANSAC
Toolbox for MATLAB. A research (and didactic) oriented toolbox
to explore the RANSAC algorithm in MATLAB. It is highly
configurable and contains the routines to solve a few relevant
estimation problems.

Implementation in
C++ as a generic template.

RANSAC for Dummies A simple tutorial with many
examples that uses the RANSAC Toolbox for MATLAB.

25 Years of
RANSAC Workshop


九、后话


本文在翻译的过程中参考了沈乐君的文章《随机抽样一致性算法RANSAC源程序和教程》。Ziv
Yaniv已经用C++实现了RANSAC，您可以点击这里下载源程序。

不过，如果时间允许的话，我打算自己动手用C#去实现RANSAC算法，原因有两个：


（1）熟悉算法的最佳途径是自己去实现它；


（2）方便使用.net的同志们利用RANSAC。


感谢您耐心看完我的蹩脚翻译，希望对您有所帮助。

分类: 算法, 图像处理