约瑟夫环
2014-01-10 02:27
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约瑟夫环问题:n个人(编号0 ~ n-1)顺序围成一个圈,给定一个整数k,从1号开始报数, 当报数到k后,该人退出,然后在从下一人从1开始报数,每次报数到k后则该人退出,问对于给定n、k,当剩下最后一个幸存者,该人编号是多少。
最简单的方法是用一线性表模拟其过程,但如果给定的n, k很大时,这样的时间复杂度为O(nk),未免太低效了。而对于约瑟夫环正好有更好的解决方法。
对与n个人约瑟夫环问题,我们对其排列成:
0, 1, 2, ..., n - 1 ==>
1, 2,..., k , ... ,n - 1, n ( 因为n个人围成圈,所以n对应0)
1#
第一次报数到k时,第k人出列。对 1# 变形为:
k, k + 1, ..., n, 1, 2, ... , k - 1 2#
对 2# 上各位减去k,得到:
0,1, 2, ..., n - 1 (减后模n) 3#
1#中的k号(幸存者)对应3#中的0号,而这样刚好剩下的1, 2, ...n - 1人又成了一个n - 1的约瑟夫环。
假如 3# 的解是 x,那么2对应不就是 x + k 吗。这样得到了一个递归公式:
f(n, k) = ( f(n - 1, k) + k) % n (n > 1)
or
f(n, k) = 1 (n <= 1)
其他的约瑟夫环问题的变形也可以根据这样的递推方法求解。
维基 约瑟夫环介绍:
http://zh.wikipedia.org/zh/%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%E6%96%AF%E9%97%AE%E9%A2%98
最简单的方法是用一线性表模拟其过程,但如果给定的n, k很大时,这样的时间复杂度为O(nk),未免太低效了。而对于约瑟夫环正好有更好的解决方法。
对与n个人约瑟夫环问题,我们对其排列成:
0, 1, 2, ..., n - 1 ==>
1, 2,..., k , ... ,n - 1, n ( 因为n个人围成圈,所以n对应0)
1#
第一次报数到k时,第k人出列。对 1# 变形为:
k, k + 1, ..., n, 1, 2, ... , k - 1 2#
对 2# 上各位减去k,得到:
0,1, 2, ..., n - 1 (减后模n) 3#
1#中的k号(幸存者)对应3#中的0号,而这样刚好剩下的1, 2, ...n - 1人又成了一个n - 1的约瑟夫环。
假如 3# 的解是 x,那么2对应不就是 x + k 吗。这样得到了一个递归公式:
f(n, k) = ( f(n - 1, k) + k) % n (n > 1)
or
f(n, k) = 1 (n <= 1)
其他的约瑟夫环问题的变形也可以根据这样的递推方法求解。
维基 约瑟夫环介绍:
http://zh.wikipedia.org/zh/%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%E6%96%AF%E9%97%AE%E9%A2%98