Prim算法和Kruskal算法

 Prim算法和Kruskal算法都能从连通图找出最小生成树。区别在于Prim算法是挨个找，而Kruskal是先排序再找。

 

    一、Prim算法：

    Prim算法实现的是找出一个有权重连通图中的最小生成树，即：具有最小权重且连接到所有结点的树。(强调的是树，树是没有回路的)。

    Prim算法是这样来做的： 

    首先以一个结点作为最小生成树的初始结点，然后以迭代的方式找出与最小生成树中各结点权重最小边，并加入到最小生成树中。加入之后如果产生回路则跳过这条边，选择下一个结点。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了连通图中的最小生成树了。

 

    Prim算法最小生成树查找过程：

 



 

C语言实现：

 

C代码  


#include <stdio.h>  

　　#include <stdlib.h>  

　　#define maxint 1073741824  

　　int main()  

　　{  

　　FILE *input=fopen("input.txt","r"),*out=fopen("output.txt","w");  

　　int n,m,i,j,x,y,w;  

　　fscanf(input,"%d %d",&n,&m);  

　　int map

,E[m][3],tree[m],Mst

;  

　　/*Mst表示最小生成树的邻接矩阵，map是原图，E是边集，其中E[0]和E[1]是边的两个顶点，E[2]是边的权值，tree是用于判断原图的点是否在最小生成树中*/  

　　memset(tree,0,sizeof(tree));  

　　for(i=0; i<n; i++)  

　　{  

　　for(j=0; j<n; j++)  

　　{  

　　map[i][j]=maxint;  

　　Mst[i][j]=maxint;  

　　}  

　　E[i][0]=E[i][1]=maxint;  

　　}  

　　for(i=0; i<m; i++)  

　　{  

　　fscanf(input,"%d %d %d",&x,&y,&w);  

　　if(w<map[x][y])  

　　{  

　　map[x][y]=w;  

　　map[y][x]=w;  

　　}  

　　}  

　　int min=maxint,next=0,now=0,k=0;  

　　tree[0]=1;  

　　for(i=0; i<n; i++)  

　　{  

　　for(j=0; j<n; j++)  

　　{  

　　if(map[now][j]!=maxint && tree[j]==0)  

　　{  

　　E[k][0]=now;  

　　E[k][2]=map[now][j];  

　　E[k++][1]=j;  

　　}  

　　}  

　　for(j=0; j<k; j++)  

　　{  

　　if(E[j][2]<min && tree[E[j][1]]==0)  

　　{  

　　min=E[j][2];  

　　x=E[j][0];  

　　y=E[j][1];  

　　next=y;  

　　}  

　　}  

　　tree[next]=1;  

　　now=next;  

　　Mst[x][y]=map[x][y];  

　　Mst[y][x]=map[y][x];  

　　min=maxint;  

　　}  

　　for(i=0; i<n; i++)  

　　{  

　　for(j=0; j<n; j++)  

　　{  

　　if(Mst[i][j]==maxint) //判断两点是否连通  

　　fprintf(out,"00 "); //美化输出，不必多加探究  

　　else  

　　{  

　　fprintf(out,"%d ",Mst[i][j]); //输出生成树的邻接矩阵，要输出树的自己可以根据邻接矩阵的数据进行加工  

　　}  

　　}  

　　fprintf(out,"\n");  

　　}  

　　fclose(input);  

　　fclose(out);  

　　return 0;  

　　} // 程序未考虑不是连通图的情况，修改很简单，判断生成树的节点数量是否等于原图的节点数量  

　　//如果小于（不会有大于）则本图不是连通图  

　　//其实prim和迪杰斯特拉算法核心有相似之处  

 

 

    二、Kruskal算法：

    Kruskal算法与Prim算法的不同之处在于，Kruskal在找最小生成树结点之前，需要对所有权重边做从小到大排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中，如果加入时产生回路就跳过这条边，加入下一条边。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了最小生成树。

 

C语言实现：

 

C代码  


/* Kruskal.c 

　　Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85 

　　All Rights Reserved. 

　　*/  

　　/* I am sorry to say that the situation of unconnected graph is not concerned */  

　　#include "stdio.h"  

　　#define maxver 10  

　　#define maxright 100  

　　int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver];  

　　int circle=0;  

　　int FindCircle(int,int,int,int);  

　　int main()  

　　{  

　　int path[maxver][2],used[maxver][maxver];  

　　int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0;  

　　int v1,v2,num,temp,status=0;  

　　restart:  

　　printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n");  

　　scanf("%d",&num);  

　　if(num>maxver||num<0)  

　　{  

　　printf("Error!Please reinput!\n");  

　　goto restart;  

　　}  

　　for(j=0;j<num;j++)  

　　for(k=0;k<num;k++)  

　　{  

　　if(j==k)  

　　{  

　　G[j][k]=maxright;  

　　used[j][k]=1;  

　　touched[j][k]=0;  

　　}  

　　else  

　　if(j<k)  

　　{  

　　re:  

　　printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1);  

　　scanf("%d",&temp);  

　　if(temp>=maxright||temp<-1)  

　　{  

　　printf("Invalid input!\n");  

　　goto re;  

　　}  

　　if(temp==-1)  

　　temp=maxright;  

　　G[j][k]=G[k][j]=temp;  

　　used[j][k]=used[k][j]=0;  

　　touched[j][k]=touched[k][j]=0;  

　　}  

　　}  

　　for(j=0;j<num;j++)  

　　{  

　　path[j][0]=0;  

　　path[j][1]=0;  

　　}  

　　for(j=0;j<num;j++)  

　　{  

　　status=0;  

　　for(k=0;k<num;k++)  

　　if(G[j][k]<maxright)  

　　{  

　　status=1;  

　　break;  

　　}  

　　if(status==0)  

　　break;  

　　}  

　　for(i=0;i<num-1&&status;i++)  

　　{  

　　for(j=0;j<num;j++)  

　　for(k=0;k<num;k++)  

　　if(G[j][k]<min&&!used[j][k])  

　　{  

　　v1=j;  

　　v2=k;  

　　min=G[j][k];  

　　}  

　　if(!used[v1][v2])  

　　{  

　　used[v1][v2]=1;  

　　used[v2][v1]=1;  

　　touched[v1][v2]=1;  

　　touched[v2][v1]=1;  

　　path[0]=v1;  

　　path[1]=v2;  

　　for(t=0;t<record;t++)  

　　FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]);  

　　if(circle)  

　　{/*if a circle exsits,roll back*/  

　　circle=0;  

　　i--;  

　　exsit=0;  

　　touched[v1][v2]=0;  

　　touched[v2][v1]=0;  

　　min=maxright;  

　　}  

　　else  

　　{  

　　record++;  

　　min=maxright;  

　　}  

　　}  

　　}  

　　if(!status)  

　　printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n");  

　　else  

　　{  

　　for(i=0;i<num-1;i++)  

　　printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[0]+1,path[1]+1);  

　　}  

　　return 1;  

　　}  

　　int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre)  

　　{ /* to judge whether a circle is produced*/  

　　int i;  

　　for(i=0;i<times;i++)  

　　if(touched[begin]==1)  

　　{  

　　if(i==start&&pre!=start)  

　　{  

　　circle=1;  

　　return 1;  

　　break;  

　　}  

　　else  

　　if(pre!=i)  

　　FindCircle(start,i,times,begin);  

　　else  

　　continue;  

　　}  

　　return 1;  

　　}  

 

 无疑，Kruskal算法在效率上要比Prim算法快，因为Kruskal只需要对权重边做一次排序，而Prim算法则需要做多次排序。尽管Prim算法每次做的算法涉及的权重边不一定会涵盖连通图中的所有边，但是随着所使用的排序算法的效率的提高，Kruskal算法和Prim算法之间的差异将会清晰的显性出来。