01分数规划讲解

　　分数规划是将某个求解最优性问题转化为判定性问题，一般的形式为f(x)=a(x)/b=(x)，求解f(x)的最优值，其中a,b,x为连续实数函数。

　　我们这里讨论f的最小值，即设w=min(f(x)=a(x)/b(x))，那么w=f(xmin)=a(xmin)/b(xmin)=>a(xmin)-w*b(xmin)=0

　　那么我们设一个新的函数g(w)，g(w)=min(a(x)-w*b(x))，首先我们可以得到这个函数的一些性质。

性质：

　　单减性：即对于任意w1<w2都有g(w1)>g(w2)，证明比较容易，假设x1为w1的最优解，x2为w2的最优解，那么有

　　　　g(w1)=a(x1)-w1*b(x1)>a(x1)-w2*b(x1)>=a(x2)-w2*b(x2)=g(w2)

　　唯一性：当且仅当g(w)=0时，w为原问题的最优解。这一性质又被称作Dinkelbach定理。首先我们要证明这一性质，需要证明g(w)=0是w为最优解的充分必要条件。

　　　　首先证明必要性，即对于w为最优解时，g(w)=0。设最优解为wmin，那么我们有

　　　　wmin=a(xmin)/b(xmin)<=a(x)/b(x)，也就是a(x)-wmin*b(x)>=0，因为g(w)是取最小值，所以g(wmin)=0

　　　　然后证明充分性，即对于g(w)=0时，w为原文题的最优解。

　　　　采用反证法，假设w’比w更优，那么w’=a(x')/b(x')<w，那么a(x')-w*b(x')<0，也就是g(w)<0，与题设g(w)=0不符。

这时候，我们可以通过求出来g(w)的值判断w是否为最优解，这样就将原问题的最优性问题转换为了判定性问题。

比如bzoj3232 http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=3232

这道题要求求v/c的最优值，这样不容易求解，但是我们可以用网络流最小割求出v-w*c的最小值，然后判断与0的关系，这样二分求解。

//By BLADEVIL
const
lim                         =1e-5;

var
n, m                        :longint;
pre, other                  :array[0..100010] of longint;
len                         :array[0..100010] of extended;
last                        :array[0..3010] of longint;
tot                         :longint;
num                         :array[0..60,0..60] of longint;
key, heng, shu              :array[0..60,0..60] of longint;
sum                         :longint;
print                       :extended;
que, d                      :array[0..3010] of longint;
source, sink                :longint;

function min(a,b:extended):extended;
begin
if a>b then min:=b else min:=a;
end;

function judge(x:extended):extended;
begin
if abs(x)<lim then exit(0);
if x<0 then exit(-1) else exit(1);
end;

procedure connect(x,y:longint;z:extended);
begin
inc(tot);
pre[tot]:=last[x];
last[x]:=tot;
other[tot]:=y;
len[tot]:=z;
end;

procedure init;
var
i, j                        :longint;

begin
read(n,m);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do num[i,j]:=(i-1)*m+j;
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
begin
read(key[i,j]);
sum:=sum+key[i,j];
end;
for i:=1 to n+1 do
for j:=1 to m do read(heng[i,j]);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m+1 do read(shu[i,j]);
source:=num[n,m]+2;
sink:=source+1;
end;

function bfs:boolean;
var
q, p                        :longint;
h, t, cur                   :longint;
begin
fillchar(d,sizeof(d),0);
d[source]:=1;
h:=0; t:=1; que[1]:=source;
while h<t do
begin
inc(h);
cur:=que[h];
q:=last[cur];
while q<>0 do
begin
p:=other[q];
if (judge(len[q])>0) and (d[p]=0) then
begin
inc(t);
que[t]:=p;
d[p]:=d[cur]+1;
if p=sink then exit(true);
end;
q:=pre[q];
end;
end;
exit(false);
end;

function dinic(x:longint;flow:extended):extended;
var
rest, tmp                   :extended;
q, p                        :longint;

begin
if x=sink then exit(flow);
rest:=flow;
q:=last[x];
while q<>0 do
begin
p:=other[q];
if (judge(len[q])>0) and (d[p]=d[x]+1) and (rest>0) then
begin
tmp:=dinic(p,min(rest,len[q]));
rest:=rest-tmp;
len[q]:=len[q]-tmp;
len[q xor 1]:=len[q xor 1]+tmp;
end;
q:=pre[q];
end;
exit(flow-rest);
end;

procedure main;
var
l, r, mid                   :extended;
cur                         :longint;
ans                         :extended;
i, j                        :longint;

begin
l:=0; r:=90;
while r-l>lim do
begin
mid:=(l+r)/2;
fillchar(last,sizeof(last),0);
tot:=1;
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
begin
connect(source,num[i,j],key[i,j]);
connect(num[i,j],source,0);
end;

for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
begin
cur:=0;
if i=1 then inc(cur,heng[i,j]);
if i=n then inc(cur,heng[i+1,j]);
if j=1 then inc(cur,shu[i,j]);
if j=m then inc(cur,shu[i,j+1]);
if cur>0 then
begin
connect(num[i,j],sink,cur*mid);
connect(sink,num[i,j],0);
end;
end;
for i:=1 to n-1 do
for j:=1 to m do
begin
connect(num[i,j],num[i+1,j],heng[i+1,j]*mid);
connect(num[i+1,j],num[i,j],heng[i+1,j]*mid);
end;
for i:=1 to n do
for j:=1 to m-1 do
begin
connect(num[i,j],num[i,j+1],shu[i,j+1]*mid);
connect(num[i,j+1],num[i,j],shu[i,j+1]*mid);
end;
ans:=0;
while bfs do
ans:=ans+dinic(source,maxlongint);
if judge(sum-ans)>0 then l:=mid else r:=mid;
end;
writeln(l:0:3);
end;

begin
init;
main;
end.