RMQ的ST算法学习小记 Poj 3264 Balanced Lineup

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在[i,j]里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

主要方法及复杂度(处理复杂度和查询复杂度)如下:

1.线段树(segment tree) O(nlogn)-O(qlogn)

2.ST（实质是动态规划） O(nlogn)-O(1)

3.RMQ标准算法：先规约成LCA（Lowest Common Ancestor），再规约成约束RMQ，O(n)-O(1)

以上摘自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_7223fd910100xmmp.html

以下分析摘自：http://www.360doc.com/content/12/0628/03/835042_220876156.shtml

ST算法：一种在线算法。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5
和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))

const int N = 50005;

int data
,n;
int dpmin
[20],dpmax
[20];

void Deal ()
{
    int i,j;
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        dpmin[i][0]=data[i];
        dpmax[i][0]=data[i];
    }
    for (j=1; j<=log((double)(n+1))/log(2.0) ;j++)
        for (i=1; i+(1<<j)-1<=n ;i++)
        {
            dpmin[i][j]=min( dpmin[i][j-1],dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1] );
            dpmax[i][j]=max( dpmax[i][j-1],dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1] );
        }
}

int Get (int a,int b)
{
    int k = log(1.0*(b-a+1))/log(2.0);
    int up=max( dpmax[a][k] , dpmax[b-(1<<k)+1][k] );
    int down=min( dpmin[a][k] , dpmin[b-(1<<k)+1][k] );
    return up-down;
}

int main ()
{
    int a,b,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&data[i]);
    memset(dpmin,0,sizeof(dpmin));
    memset(dpmax,0,sizeof(dpmax));
    Deal ();
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",Get(a,b));
    }
    return 0;
}