BZOJ[Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0,
0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

【数据规模和约定】

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题目喊我们求的是sigma{gcd(x,y)}*2-n*m；

所以求sigma{gcd(x,y)}就完了，最先想的是枚举x，对于每一个x，计算sigma{gcd(x,p)}，最后统计，这样考虑枚举不同的gcd(a,b)，即枚举x不同的因数，对于一个因数k，1--m中gcd(x,p)为k的倍数的个数为x/k，然后用一次容斥原理，1--m中gcd(x,p)为k的个数为x/k-sigma{x/(k*i)}。这样复杂度是O(nlognlogn)的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL sta[20000];
int top;
LL sum=0;
LL n,m;
LL ans[20000];
int main(){
// freopen("energy.in","r",stdin);
// freopen("energy.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++){
top=0;
LL tmp=i;
for (int j=1;j*j<=i;j++)
if (i%j==0){
sta[++top]=j;
if (i!=j*j)
sta[++top]=i/j;
}
sort(sta+1,sta+top+1);
// if (tmp!=1) sta[++top]=tmp;
// if (i!=1) sta[++top]=i;
for (int j=top;j>=1;j--){
LL cnt=m/sta[j];
for (int k=top;k>j;k--)
if (sta[k]%sta[j]==0)
cnt-=ans[k];
ans[j]=cnt;
}
// for (int j=1;j<=top;j++) printf("%d ",sta[j]);printf("\n");
// for (int j=1;j<=top;j++) printf("%d ",ans[j]);printf("\n\n");
for (int j=1;j<=top;j++)
sum+=ans[j]*sta[j];
}
printf("%lld",2*sum-n*m);
return 0;
}

查了网上题解发现，其实不需要枚举x，直接对于每一个不同的gcd，用容斥算就行了：对于一个gcd=k的情况，出现gcd是k的倍数的个数为n/k*m/k，用一次容斥，出现gcd是k的个数为n/k*m/k-sigma{(n/k*i)*(m/k*i)}，最后统计一边就行了

#include<cstdio>
#include<cstring>

inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}

const int MAXN = 100010;

long long cnt[MAXN];

int main()
{
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
int t = min(n,m);
for(int i=2;i<=t;i++)//gcd = i
cnt[i] = (long long)(n/i)*(m/i);//cnt[i] : the number of whose gcd is k*i

for(int i=t;i>=1;i--)
for(int k=2;k*i<=t;k++)
cnt[i]-=cnt[k*i];//to get the real number of whose gc is i
long long ans = 0;
for(int i=1;i<=t;i++)
ans+=2*(i-1)*cnt[i];
printf("%lld\n",ans+(long long)n*m);
}
return 0;
}