庞果英雄会第二届在线编程大赛·线上初赛：AB数

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给定两个正整数a,b，分别定义两个集合L和R，

集合L：即把1~a，1~b中整数乘积的集合定义为L = {x * y | x,y是整数且1 <= x <=a , 1 <= y <= b}；

集合R：1~a，1~b中整数异或的集合定义为集合R = {x ^ y | x,y是整数且1 <= x <=a , 1 <= y <= b}，其中^表示异或运算。

现从L中任取一个整数作为A，从R中任取一个整数作为B，如果必要在B的左边补0，使得B达到：“b的位数+1”位（十进制），然后把B接到A的右边，形成的一个十进制数AB。求所有这样形成数的和。

输入a,b 1<=a<=30, 1<=b<=10000000。

输出所有产生的AB数的和，由于结果比较大，输出对1000000007取余数的结果。

例如：a = 2, b = 4，

则L = {1 * 1, 1 * 2, 1 * 3, 1 * 4, 2 * 1, 2 * 2, 2 * 3, 2 * 4} = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

R = {1^1,1^2,1^3,1^4,2^1,2^2,2^3,2^4} = {0, 1, 2, 3, 5, 6}

相接的时候保证R中的数至少有两位，所以相接后所有的AB数的集合是

{

100, 101, 102, 103, 105, 106,

200, 201, 202, 203, 205, 206,

300, 301, 302, 303, 305, 306,

400, 401, 402, 403, 405, 406,

600, 601, 602, 603, 605, 606,

800, 801, 802, 803, 805, 806

}

输出它们的和：14502。

假设b的位数为kb, 集合L，R中所有元素的和分别为sumL、sumR，集合L，R中元素的个数分别为sizeL、sizeR。从题目所给的例子可以很容易的分析出最后的结果 = sumL * (10^(kb + 1)) * sizeR + sumR * sizeL （对1000000007求模）。所以我们的目标是求sumL、sizeL和sumR、sizeR。

一 求集合R：sumR、sizeR

我们假设a <= b (如果a > b 可以两者交换)，a的十进制位数为ka, b的十进制位数为kb。因此异或求解集合R中元素时，只有b的最后ka个二进制位受影响，b的前kb-ka个二进制位可以表示0…2^(kb-ka)-1的所有数。现在我们只考虑b的后面ka个二进制位：

1、假设b = 11001，a = 101，那么R = {00001…11001}^{001…101}表示的数有哪些呢？ 我们可以看到两者异或后可以表示的最大的数是11001^100 = 11101（注意到后三位异或能表示的最大为001^100 = 101）, 最小的数是00001^001 = 00000（注意到后三位异或能表示的最小为001^001 = 000），界于最大和最小的数之间的所有数都可以表示（这是因为后三位异或可以表示000~101之间的所有数）。

2、假设b = 11000，a = 101，那么R = {00001…11001}^{001…101}表示的数有哪些呢？ 我们可以看到两者异或后可以表示的最大的数是11001^100 = 11101（注意到后三位异或能表示的最大为001^100 = 101）, 最小的数是00001^001 = 00000（注意到后三位异或能表示的最小为001^001 = 000），界于最大和最小的数之间的所有数都是不是都可以表示呢，答案是否定的，b本身就不能表示(11000 = 11000^000, 但是题目中说明了y>=1,y不能等于0)。

3、那么什么时候R中不包括b呢：当b的后ka个二进制位全部为0时，b就不属于集合R

4、如何R中的最大元素，要求最大元素，就要使b的后ka个二进制位中1的个数最多，假设a = 10110101， b的后8位为backb = 00101101，注意到我们可以通过异或使backb从左边第三位(左起第一个1)起全部为1(即101101^010010 = 111111)，backb的前两位最大能表示00^10 = 10，因此a^backb最大为10111111。即选取b的后ka个二进制位backb，把backb左起第一个二进制位1开始全部置1，backb的其余为和a的对应位异或，这样得到的数就是R的最大值。

5、还需要注意一点是，如果a、b中有一个数为1，那么R中1就不属于集合R，因为1要和0异或才能得到1.

综上所述，我们可以根据步骤4求得R的最大值，那么R = {0，1,2…maxR}，然后根据步骤3和步骤5判断一下b和1是否要从R中剔除，求R的复杂度为O(32)（32为整数的位数）

二 求集合L：sumL，sizeL

最简单的就是枚举，用哈希表排除重复元素，但是这样时间复杂度为O(ab), 当b很大时，会超时。

注意到其实我们没有必要求出L中所有的元素，我们需要的是L中元素的个数和元素的和。同理假设a <= b

sumL =

1*{1,2,3…b} +

2*{1,2,3…b} +

…+

a*{1,2,3…b} - 重复的元素

假设集合Li = i * {1,2,3…b}, 注意到为避免重复元素，对于i，不用每次都从1开始乘, 至少可以从 i 开始即 Li = i *{i, i+1,…b}。我们还可以进一步缩小范围，假设i 素因子分解后 i = m * n * k，其中k是最小的素因子，那么我只要从max( b / k +1, i )开始乘，因为m*n*k*(b/k + 1) = m*n*b + i. 当i = m*n 时，m*n*b前面已经计算过，因此至少可以从m*n*b + i 开始计算。所以Li = i * {j, j+1, … ,b}, 其中j = max( b / minPrimeFactor(i) + 1, i ) （ i = 1 时特别考虑）。

所以sumL = U( Li )， 其中（i = 1…a, U表示求集合的并集）。

求集合的并集，我们很容易想到容斥原理：

const int M = 1000000007;

int NUM,SUM;
int num[22],sum[22],all[33];

class Test3 {
public:
static int length(int x) {
int i;
for (i = 0; x; x /=10, ++i)
;
return i;
}

static long long gcd(long long x,long long y) {
return y?gcd(y, x % y):x;
}

static int mul(long long x, long long y) {
if (x >= M) {
x %= M;
}
if (y >= M) {
y %= M;
}
if( (x *= y) >= M) {
x %= M;
}
return x;
}

static int add(long long x,long long y) {
if (x >= M) {
x %= M;
}
if (y >= M) {
y %= M;
}

if ((x += y) >= M) {
x -= M;
}
return (int) x;
}

static int dec(long long x,long long y) {
if (x >= M) {
x %= M;
}
if (y >= M) {
y %= M;
}
if ((x -= y) < 0) {
x += M;
}
return (int) x;
}

static void help(long long x, int one,int *a,int now,int len,  long long lcm) {

if (now >= len) {
if (one == 0) {
return;
}
long long n = x / lcm;
int s;
if (n & 1) {
s = mul(n, (n + 1) >> 1);
}
else {
s = mul(n >> 1, n + 1);
}
s = mul(s, lcm);
if (one & 1) {
SUM = add(SUM, s);
NUM = add(NUM, n);
}
else {
SUM = dec(SUM, s);
NUM = dec(NUM, n);
}
return;
}
help(x, one, a, now + 1, len,  lcm);
long long temp = a[now] / gcd(lcm, a[now]);
if (temp > x / lcm) {
return;
}
lcm *= temp;
help(x, one  + 1, a, now + 1, len, lcm);
}

static int run(int a,int b) {
int lenb = length(b), lena = length(a), len, L = 0;
memset(num,0,sizeof(num));
memset(sum,0,sizeof(sum));
for (int i = 1; i <= a; ++i) {
if ((i != 1) && ((i ^ 1) <= b)) {
num[0] = add(num[0], 1);
sum[0] = add(sum[0], 1);
break;
}
}
if (b > 1) {
for (int i = 1; i <= a; ++i) {
if ((i != b) && ((i ^ b) <= b)) {
num[0] = add(num[0], 1);
sum[0] = add(sum[0], b);
break;
}
}
}
for (int i = 2; i < b; ++i) {
num[0] = add(num[0], 1);
sum[0] = add(sum[0], i);
}
num[0] = add(num[0], 1); //0
for (int i = 1; i <= a; ++i) {
for (int j = 1; j <= a; ++j) {
if ((((i + b) ^ j) <= b) && (i + b != j)) {
len = max(length(i + b) - lenb - 1, 0);
num[len] = add(num[len], 1);
sum[len] = add(sum[len], i + b);
L = max(L, len);
break;
}
}
}

int s = 0, n = 0;
// ( (i - 1) * B, i * B]
int m = 0;
for (int i = a; i; --i) {
int k = 0;
for (int j = 0; j < m; ++j) {
if (all[j] % i) {
all[k++] = all[j];
}
}
all[k++] = i;
m = k;
long long x = ((long long) i) * ((long long) b);
SUM = NUM = 0;
help(x, 0, all, 0, m, 1);
s = add(s, SUM);
n = add(n, NUM);
SUM = NUM = 0;
help(x - b, 0, all, 0, m, 1);
s = dec(s, SUM);
n = dec(n, NUM);
}
int w = 1;
for (int i = 0; i <= lenb; ++i) {
w = mul(w, 10);
}
int answer = 0;
int numR = 0;

for (int i = 0; i <= L; ++i) {
//printf("%d %d\n",num[i], sum[i]);

answer = add(add(mul(mul(s, w), num[i]), mul(n, sum[i])), answer);
numR += num[i];
}
//cout<<"L: "<<s<<" "<<n<<endl;
//cout<<"R: "<<numR<<endl;
return answer;
}
};

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