【算法导论】有向图的可达矩阵

有时候，我们关注的不是从一个地点到另一个地点的费用，而是能否从一个顶点到达另一个顶点。因此我们可以假设所有边的权值为单位1，在下面的算法中，我们可以在O(n*n*n)的时间内计算出图中任意两点是否可达，我用可达矩阵来表示有向图中两者是否可达。如果可以从i到j,则定义tij=1,否则tij=0。因此我们可以得到下式：



我们以下面的有向图进行具体实现：



下图给出了计算所得的每一个T(k)矩阵：



具体程序实现如下：

#include<stdio.h>

#define MAX 10000
#define N 4 //顶点个数

void TransitiveClosure(int dist

,int t

)//寻找可达矩阵
{
	for(int i=0;i<N;i++)//进行遍历
		for(int j=0;j<N;j++)
		{
			if((i==j)||(dist[i][j])==1)//发现可达
				t[i][j]=1;
			else
				t[i][j]=0;
		}

	for(int k=0;k<N;k++)
		for(int i=0;i<N;i++)
			for(int j=0;j<N;j++)
				t[i][j]=t[i][j]||(t[i][k]&&t[k][j]);//由文中公式可得
}

void main()
{
	int dist

={{1,0,0,0},//邻接矩阵
					{0,1,1,1},
					{0,1,1,0},
					{1,0,1,1}};

	int t

={0};
	TransitiveClosure( dist, t);
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
			for(int j=0;j<N;j++)
				printf("%d ",t[i][j]);
			printf("\n");
	}

}

在上面的程序中，我用了逻辑运算来计算可达矩阵，因为在某些计算机上，对单位的值，逻辑操作的执行速度快于对整数字长数据的算术运算操作，其空间要求也比整数要小。

学过图论的可能知道，一个邻接矩阵A（若边的权值都为单位1）表示两个顶点经过一步的可达情况,Aij表示经过一步，i能到达j的次数。同理A^2表示两个顶点经过两部步的可达情况,Aij表示经过两步，i能到达j的次数，一次类推……。还是以上面的图为例：

A =

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 1 0

1 0 1 1

A^2=

1 0 0 0

1 2 3 2

0 2 2 1

2 1 2 1

比如A^2中A12=2，表示从顶点2到顶点3经过两步可以到达的次数为3.注意:自己到达自己可以是任意步！

由相关知识可知，可达矩阵B=A+A^2+A^3+……+A^n ，n为顶点个数。具体的C语言实现比上面的算法要复杂，下面用matlab实现：

function P = canget( A )
%计算可达矩阵
%B=A+A^2+A^3+……+A^n   A为邻接矩阵
n=length(A);
P=A;
for i=2:n
    P=P+A^i;
end

P=(P~=0);

结算可以得到相同的结果。由于matlab擅长矩阵运算，因此程序计算十分简单。

注：如果程序出错，可能是使用的开发平台版本不同，请点击如下链接： 解释说明

原文：/article/1335979.html

作者：nineheadedbird