codility上的练习(8)

目前，最新是练习8，这次的题还是比较好玩的。
(1) Min-Perimeter-Rectangle
给定矩形面积，长和宽都是整数，求最大它的最大周长值。
面积范围N：[1..1,000000000]

要求时间复杂度 O(sqrt(N))，时间复杂度O(1)。
枚举就可以了。。。。

// you can also use includes, for example:
// #include <algorithm>
int solution(int N) {
    // write your code in C++98
    int r = N + 1;
    for (int i = 2; N / i >= i; ++i) {
        if (N % i == 0) {
            r = min(r, N / i + i);
        }
    }
    return r << 1;
}

(2) Peaks
一个数组中下标P位置，入过A[P] > A[P - 1] 并且A[P] > A[P + 1]，则称P位置为一个山峰（注意：第一个和最后一个元素不是山峰），我们把数组平均分成m段，每段有n / m个元素，要求每段里至少有一个山峰，问m最大是多少？如果数组没山峰返回0。 N [1..10^5]。元素范围[0..10^9]。要求复杂度：时间O(nlog(log(n)))，空间O(n)。

分析： 个人感觉时间复杂度很诡异……，首先如果我们用O(n)得空间统计从开始到目前为止得山峰数sum[]，那么我们如何检查某个k是不是一个可行解？
(a) 首先 n % k == 0
(b) sum[k - 1], sum[2 * k - 1], sum[3 * k - 1],....sum[n - 1] 严格递增，注意这个数列有n / k项。
所以我们循环k有n次真正判断额外的循环次数是n / k。 于是总的时间复杂度是n + (n的所有约数和）。
从wikipedia看到
http://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function

约束和的复杂度是O(nloglog(n)))的，所以时间复杂度就是这样了。

其实只要稍加改进时间复杂度可以达到O(n)。
考虑距离最远的连个山峰，设最大距离为D，（第一个山峰到开头的距离，以及最后一个山峰到末尾的距离都算进去），则如果桶的size >= D，则一定可以。size < D / 2一定不可以。所以我们只要看D/2..D之间的n的约数即可。如果这里没有解，再沿着D向上找一个约数（但是不用再验证）。之所以把第一个山峰和最后一个山峰那块都算进去是因为可以保证第一个桶和最后一个桶不空。然后可以轻松得出上述结论。
复杂度分析，令m = D / 2。则 复杂度只有n / m + n / (m + 1) + ... + n / D，每一项不大于n / m，一共m项，所以时间复杂度居然是O(n)。

// you can also use includes, for example:
// #include <algorithm>
#include <vector>

int solution(vector<int> &A) {
    // write your code in C++98
    // 2 * size - 1 >= D
    // size < D
    int n = A.size();
    if (n <= 2) {
        return 0;
    }
    vector<int> sum;
    sum.resize(n);
    int last = -1, D = 0;
    sum[0] = 0;
    for (int i = 1; i + 1 < n; ++i) {
        sum[i] = sum[i - 1];
        if ((A[i] > A[i - 1]) && (A[i] > A[i + 1])) {
            D = max(D, i - last);
            last = i;
            ++sum[i];
        }
        
    }
    if ((sum[n - 1] = sum[n - 2]) == 0) {
        return 0;
    }
    D = max(D, n - last);
    for (int i = (D >> 1) + 1; i < D; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            last = 0;
            int j;
            for (j = i; j <= n; j += i) {
                if (sum[j - 1] <= last) {
                    break;
                }
                last = sum[j - 1];
            }
            if (j > n) {
                return n / i;
            }
        }
    }
    for (last = D; n % last; ++last)
    ;
    return n / last;
            
}

(3) 也是跟山峰有关，是以前的问题。
Boron 2013