回溯法搜索排列树的问题

1、问题描述： 

     设某一机器由n个部件组成，每一种部件都可以从m个不同的供应商处购得。设w[i][j]是从供应商j处购得的部件i的重量，c[i][j]是相应的价格，给出总价格不超过d的最小重量机器设计。 

2、解题思路： 

     由于题目已经给出总价格的上限，因此算法通过使用回溯来选择合适的机器使得在总价格不超过d时得到的机器重量最小。首先初始化当前价格cp=0,当前重量cw=0,此外，还要设置一个变量sum表示选择机器的总重量，初始化其为每个部件从1号供应商购买的重量。在循环选择i号机器时，判断从j号供应商购买机器后的价格是否大于总价格，如果不大于则选择，否则不选，继续选择下一供应商进行判断。在得到一个合适的供应商后，继续选择下一机器的供应商，从第一个选到最后一个供应商。当所有机器选择结束后，判断得到的总重量是否比之前的sum小，如果小就赋给sum，然后从这一步开始，回溯到上一机器，选择下一合适供应商，继续搜索可行解，直到将整个排列树搜索完毕。这样，最终得到的sum即为最优解。 

     当然，考虑到算法的时间复杂度，还可以加上一个剪枝条件，即在每次选择某一机器时，再判断选择后的当前重量是否已经大于之前的sum，如果大于就没必要继续搜索了，因为得到的肯定不是最优解。 

3、算法设计： 

a.部件有n个，供应商有m个，分别用w[i][j]和c[i][j]存储从供应商j 处购得的部件i的重量和相应价格，d为总价格的上限。 

b.用递归函数backtrack(i)来实现回溯法搜索排列树（形式参数i表示递归深度）。 

  ① 若cp>d，则为不可行解，剪去相应子树，返回到i-1层继续执行。 

  ② 若cw>=sum，则不是最优解，剪去相应子树，返回到i-1层继续执行。 

  ③ 若i>n，则算法搜索到一个叶结点，用sum对最优解进行记录，返回到i-1层继续执行； 

  ④ 用for循环对部件i从m个不同的供应商购得的情况进行选择(1≤j≤m）。 

c.主函数调用一次Knapsack(1)即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的sum即为所求最小总重量。 

4.算法时间复杂度： 

    程序中最大的循环出现在递归函数backtrack(i)中，而此函数遍历排列树的时间复杂度为O(n!),故该算法的时间复杂度为O(n!)。 

5.

测试代码  



#include<iostream>  

#define N 1000  

using namespace std;  

  

int n,m,d,cp=0,cw=0,sum=0;  

int c

,w

;  

  

void backtrack(int i){  

     if(i>n){  

       if(cw<sum)  

         sum = cw;  

       return ;  

     }  

     for(int j=1;j<=m;j++){  

         cw+=w[i][j];  

         cp+=c[i][j];  

         if(cw<sum && cp<=d)  

           backtrack(i+1);  

         cw-=w[i][j];  

         cp-=c[i][j];  

     }  

}  

  

int main(){  

    cin>>n>>m>>d;  

    for(int i=1;i<=n;i++){  

      for(int j=1;j<=m;j++)  

        cin>>c[i][j];  

      sum+=c[i][1];  

    }  

    for(int i=1;i<=n;i++)  

      for(int j=1;j<=m;j++)  

        cin>>w[i][j];  

    backtrack(1);  

    cout<<sum<<endl;  

    system("pause");  

    return 0;  

}  

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