动态规划求 最长递增子序列

给出一段整数序列 ， 要求出这个序列的最长递增子序列 。

方法一：

我们可以利用背包状态转移的思想 ， 从后先前分析 ， 我们先只考虑前 i-1 个元素中的最长递增子序列 ， 当求前 i
个元素的最长递增序列时 ， 我们只需要确定第 i 个元素可以放在前 i-1 个元素中哪些元素的后面 ， 则 i
元素就能跟该元素构成一个新的序列。即：

k <= i-1 ;

xy[i] > xy[k] , 则 i 元素就能放在 k 元素的后面 ，
这样就构成了一个新的递增序列

代码：

int main()

{

    int
xy[100010] , n;

    int
dp[100010];

   
while(scanf("%lld" , &n) != EOF)

    {

    int i ,
j;

    for(i = 1; i
<= n; i++)

   
   
cin>>xy[i];

    //memset(dp
, 0 , sizeof(dp));

    dp[1] =
1;

    for(i = 2; i
<= n; i++)

    {

   
    dp[i] =
1;

   
    for(j = 1; j
< i; j++)//顺序查找

   
    {

   
   
    if(xy[j]
< xy[i] && dp[i]
< (dp[j]+1))

   
   
   
    dp[i] =
dp[j]+1;

   
    }

   
}//时间复杂度为：n*n

    int maxsum =
0;

    for(i = 1; i
<= n; i++)

   
    if(dp[i]
> maxsum)  maxsum = dp[i];

   
cout<<maxsum<<endl;

    }

    return
0;

}

方法二：（dp + 二分查找）

对于方法一 ， 我们可以分析出其时间复杂度为：n*n ， 这复杂度太高了 ， 所以我们要在改善这个算法。

在方法一中我们是在用顺序查找来查找xy[i]在0~i-1中的位置 ， 因此我们可以在这里下手 ， 把顺序查找该为二分查找 ，
则时间复杂度变为了：n*lgn；

这个方法的原理:

首先我们知道 ， 对于每一个长度（递增序列中的元素数量）的递增序列 ， 我们只需要记录该序列的最后的一个元素就行了 ，
我们可以用一个数组 c 来储存 ，则c[1]就储存只有一个元素的递增序列中的最大那个数（也就是最后面那个数） ， c[2]
就储存只有2个元素的递增序列中的最大那个数.........

因此我们就得到了一个有序的数组 c ， 那么当我们确定 xy[i] 这个元素的最长递增序列时 ， 我们只需要在 c
中找到最小的大于xy[i]的元素的位置 ， 这个位置就是xy[i]的最长递增序列。

所以 ， 我们需要长期来维护数组c

代码：

#include

using namespace std;

long long int xy[100100];

long long int c[100100];

long long int find(long long int n , long long int x)

{

    long long
int left = 1 , right = n ;

    long long
int mid;

    while(left
<= right)

    {

   
    mid =
(right+left)/2;

   
   if(c[mid] < x)  left =
mid + 1;  // 这里要注意 ， 因为是要求大于 x 的元素的位子 ，
所以这里不能加等于

   
    else right =
mid - 1;

    }

    return
left;

}

int main()

{

    long long
int n;

   
while(scanf("%lld" , &n) != EOF)

    {

   
    long long
int i , j;

   
    for(i = 1; i
<= n; i++)

   
   
   
cin>>xy[i];

   
    c[0] =
-1;

   
    c[1] =
xy[1];

   
    long long
int len = 1;

   
    for(i = 2; i
<= n; i++)

   
    {

   
   
   j = find(len , xy[i]);

   
   
    c[j] =
xy[i];  //维护数组c

   
   
    if(j
> len)  len = j;

   
    }

   
   
cout<<len<<endl;

    }

    return
0;

}