每个点与点之间的瓶颈路

瓶颈路：最小生成树中边权最大那条边 。

这个题目最普通的算法就是bfs和dfs ， 但这旺旺都会超时 。

下面有两种各是时间效率或空间效率高的算法。

1、 时间高效率

   
当你要查询每对点与点之间的瓶颈路时 ， 最好的方法时 ， 先把所有点之间的求出来 ， 然后存放到一个数组中 ，
但这要求节点数不能太大（如：n = 50000 ， 就不可能全部存下来 ， 只能一个一个求） 。

   
我们先把最小生成树看成是一颗有根树 ， 并且找出一个根节点（任意） ， 然后再从这个根节点开始遍历，求点与点之间的最大边权 。
怎么遍历呢？我们想到了dfs （经过优化的dfs） ， 我们让节点至于被标记（已经被遍历的节点）的节点进行比较 ，
这样就不会使每对节点都要被比较两次 。

代码：

void dfs(int v)

{

    for ( int u
= 1; u <= n; ++u )  //这里还可以用邻接表来减少时间

    {

       
if(!done[u] && p[u] == v) 
//  done检查是否被标记 ， p是指u是不是v的父亲节点

   
    {

          
done[u] = 1;

          
for ( int x = 1; x <= n; ++x )

              
if (done[x] && x != u ) 

   
   
   
   {

   
   
   
   
   maxbian[x][u] = maxbian[u][x]
= 
maxbian[x][v]>maxbian[u][v]?maxbian[x][v]:maxbian[u][v];

   
   
   
   }

          
dfs(u);

       
}

    }

}

2、空间高效率

    就像上面说的那样 ，
当不能存储所有节点之间的最大边权的情况下的算法 ， 这个算法论单个求肯定高于上面那个算法 ， 但要求所有点与点之间时 ，
就比上面那个算法更慢了。

   
这个算法充分的考虑的最小生成树是一颗树的性质 。 先把其建立成一颗有根树（根是任意的） ，
并记录每个节点在这个有根树中的深度、父亲节点 、 以及和父亲节点的距离 。

    当要求x ， 和 y
，之间的最小瓶颈路时 ， 先判断x、y的深度是不是一样的 ， 如果不是 ， 那就先使它们的深度一样， 当深度一样之后 ，
x、y再同时往根的方向走 ， 直到x == y 时 。（在这里我们可以肯定判断出 ， x、y的某个祖先一定是同一个节点 ， 所有 ，
当x、y深度一样时 ， 并同时向上遍历 ， 那么它们就一定会同时到达这个祖先）

代码：

int solve(int x , int y)

{

    int m1 = -1
, m2 = -1;  // 
初始化两个节点在遍历过程中的最大边权

    if(f[x] >
f[y])   // 
当这两个节点深度不一样时

    {

   
   
while(f[x]>f[y])

   
    {

   
   
    if(m1 <
dist[x])  m1 = dist[x]; 
//  改变最大边权

   
   
    x = p[x];
//  向上走后的节点 ， 也就是其父亲节点

   
    }

    }

    else if(f[x]
< f[y])

    {

   
    while(f[x]
< f[y])

   
    {

   
   
    if(m2 <
dist[y])  m2 = dist[y];

   
   
    y =
p[y];

   
    }

    }

    while(x !=
y)  //  这时 ， 两个节点的深度已经一样了

    {

   
    if(m1 <
dist[x])  m1= dist[x]; 
//  两个节点同时向上走 ， 直到两个节点相同时