牛顿迭代法（欧几里得算法（辗转相除），斐波那契算法）

牛顿迭代公式步骤：

设r是f(x)=0的根，选取作为r的初始近似值；

一、过点(x0, f(x0))做曲线y
= f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标x1=x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值；

二、过点(x1, f(x1))做曲线y
= f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值；

三、重复一二，得到r的n+1次近似值序列，其中Xn+1
= Xn - f(Xn)/f'(Xn)称为r的n+1次近似值；

（重复次数可自己去尽量小的ε， 当两次求出的根之差|xn+1-xn|≤ε就认为
xn+1足够接近于真实根。）

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。

形象举例：
军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B
= A），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上，直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。

步骤：
一、确定迭代变量；
二、建立迭代关系；
三、对迭代过程进行控制；

举例：

//欧几里得算法（又称辗转相除法）
//求最大公约数
//循环
int gcd(int a, int b) {
//排错
if(a<=0 || b<=0)
return 0;
int temp;
while(b > 0) {
temp = a % b;
a = b;
b = temp;
}
return a;
}
//递归
int gcd(int a, int b) {
if(a==0)
return b;
if(b==0)
return a;
return gcd(b, a%b);
}

//斐波那契数列(Fibonacci)
//0、1、1、2、3、5、8、13、21、34。。。
//循环
int Fib(int n) {
//排错
if(n < 1)
return 0;
if(n==1 || n==2)
return 1;
int f1 = 1 f2=1, fn;
for(int i=3; i<=n; i++) {
fn = f1 + f2;
f1 = f2;
f2 = fn;
}
}
//递归剪枝
double a[10000];
double Fbi(int n) {
if(n < 2)
return n > 0 ? 1 : 0;
//剪枝，已经计算就不再计算
if(a
!= 0)
return a
;

a[i-1] = fbi(i-1);
a[i-2] = fbi(i-2);

return a[n-1]+[n-2];
}