fzu 2037 Maximum Value Problem(递推）

题目链接：fzu 2037 Maximum Value Problem

题目大意：给出n，然后有一个长度为n的序列，元素由1~n组成，现在有一个Max = 0，问说计算所有排列可能的序列需要更新多少次Max。列如：但n = 2的时候，存在序列s1 = { 1， 2}， 和序列s2 = {2， 1}， f1 = 2， f2 = 1， 所以ans = 3。并且要输出p[i] = f[i] / t[i](当前n长度下的序列总数）

解题思路：首先t[i] = i！(长度为i的序列的可能种类），f[i] = f[i - 1] * i + t[i - 1].(需要更新Max的次数）。

其次就要注意的了，因为n非常大，所以t和f计算到后面也是非常大的数，所以要MOD 1,000,000,007，所以计算p的时候就会出错，例如：a = 4， b = 3， 那么a / b = 4 / 3, 可是两个数都Mod掉2之后，a = 2， b = 1，
a / b = 2 / 1，答案就错了。

正确的做法是直接根据p[i - 1]去求p[i]， 即p[i] = p[i - 1] + 1 / n;

证明：p[i] = f[i] / t[i] = (f[i - 1] * i + t[i - 1]) / t[i] = (f[i - 1] * i + (i - 1) !) / i! = f[i - 1] / (i - 1) ! + 1 / i = p[i - 1] + 1 / i;

#include <stdio.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1000005;
const ll mod = 1000000007;

ll t
, f
;
double p
;

void init() {
f[1] = t[1] = 1;
p[1] = 1;
for (ll i = 2; i < N; i++) {
f[i] = (f[i - 1] * i + t[i - 1]) % mod;
t[i] = (t[i - 1] * i) % mod;
p[i] = p[i - 1] + 1.0 / i;
}
}

int main () {
init();
int cas;
scanf("%d", &cas);
for (int i = 1; i <= cas; i++) {
int n; scanf("%d", &n);
printf("Case %d: %lld %.6lf\n", i, f
, p
);
}
return 0;
}