背包问题简介及代码分析(C、OC都可运行)

背包问题（Knapsack Problem）

假设有一个背包的负重最多可达8公斤，而希望在背包中装入负重范围内可得之总价物品，假设是水果好了，水果的编号、单价与重量如下所示：

0 李子 4KG NT$4500

1 苹果 5KG NT$5700

2 橘子 2KG NT$2250

3 草莓 1KG NT$1100

4 甜瓜 6KG NT$6700

解法

背包问题是关于最佳化的问题，要解最佳化问题可以使用「动态规划」（Dynamic programming），从空集合开始，每增加一个元素就先求出该阶段的最佳解，直到所有的元素加入至集合中，最后得到的就是最佳解。

以背包问题为例，我们使用两个阵列value与item，value表示目前的最佳解所得之总价，item表示最后一个放至背包的水果，假设有负重量 1～8的背包8个，并对每个背包求其最佳解。

逐步将水果放入背包中，并求该阶段的最佳解：

放入李子

背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8

value ０ ０ ０ 4500 4500 4500 4500 9000

item － － － ０ ０ ０ ０ ０

放入苹果

背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8

value ０ ０ ０ 4500 5700 5700 5700 9000

item － － － ０ 1 1 1 ０

放入橘子

背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8

value ０ 2250 2250 4500 5700 6750 7950 9000

item － 2 2 ０ 1 2 2 ０

放入草莓

背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8

value 1100 2250 3350 4500 5700 6800 7950 9050

item 3 2 3 ０ 1 3 2 3

放入甜瓜

背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8

value 1100 2250 3350 4500 5700 6800 7950 9050

item 3 2 3 ０ 1 3 2 3

由最后一个表格，可以得知在背包负重8公斤时，最多可以装入9050元的水果，而最后一个装入的 水果是3号，也就是草莓，装入了草莓，背包只能再放入7公斤（8-1）的水果，所以必须看背包负重7公斤时的最佳解，最后一个放入的是2号，也就 是橘子，现在背包剩下负重量5公斤（7-2），所以看负重5公斤的最佳解，最后放入的是1号，也就是苹果，此时背包负重量剩下0公斤（5-5），无法 再放入水果，所以求出最佳解为放入草莓、橘子与苹果，而总价为9050元。

代码及注释

#define LIMIT 8   // 重量限制
#define N 5       // 物品种类
#define MIN 1     // 最小重量

struct body {
char name[20];
int size;
int price;
};

typedef struct body object;

//主程序
int item[LIMIT+1] = {0};
int value[LIMIT+1] = {0};
int newvalue, i, s, p;

object a[] = {{"李子", 4, 4500},
{"苹果", 5, 5700},
{"橘子", 2, 2250},
{"草莓", 1, 1100},
{"甜瓜", 6, 6700}};

for(i = 0; i < N; i++) {//每种水果都试一遍
for(s = a[i].size; s <= LIMIT; s++) {//从该水果的千克数开始算起
p = s - a[i].size;//获取前千克数的指针
newvalue = value[p] + a[i].price;//获取购买该水果后的newvalue值
if(newvalue > value[s]) {// 找到阶段最佳解，看看是不是比以前的多
value[s] = newvalue;//保存这个较大的结果
item[s] = i;//记录这次买了什么水果
}
}
}
printf("物品\t价格\n");
for(i = LIMIT; i >= MIN; i = i - a[item[i]].size) {
printf("%s\t%d\n",
a[item[i]].name, a[item[i]].price);
}
printf("合计\t%d\n", value[LIMIT]);