最小二乘法及C语言实现

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我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...
对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2），
…，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：
（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。

（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。

（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。
　 最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。
　样本回归模型：


其中ei为样本（Xi, Yi）的误差
平方损失函数：



则通过Q最小确定这条直线，即确定

，以

为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：



根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。
解得：



这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。
最小二乘法的C语言实现：

/*
最小二乘法C++实现
参数1为输入文件
输入 ： x
输出： 预测的y
*/
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<vector>
using namespace std;

class LeastSquare{
double a, b;
public:
LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)
{
double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;
for(int i=0; i<x.size(); ++i)
{
t1 += x[i]*x[i];
t2 += x[i];
t3 += x[i]*y[i];
t4 += y[i];
}
a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);  // 求得β1
b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);        // 求得β2
}

double getY(const double x) const
{
return a*x + b;
}

void print() const
{
cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n";
}

};

int main(int argc, char *argv[])
{
if(argc != 2)
{
cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl;
return -1;
}
else
{
vector<double> x;
ifstream in(argv[1]);
for(double d; in>>d; )
x.push_back(d);
int sz = x.size();
vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end());
x.resize(sz/2);
LeastSquare ls(x, y);
ls.print();

cout<<"Input x:\n";
double x0;
while(cin>>x0)
{
cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl;
cout<<"Input x:\n";
}
}
}