牛顿法求方程根

牛顿法

维基百科，自由的百科全书
跳转至：
导航、
搜索

本条目没有列出任何参考或来源。（2013年11月23日） 维基百科所有的内容都应该可供查证。 请协助添加来自可靠来源的引用以改善这篇条目。无法查证的内容可能被提出异议而移除。

牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数

的泰勒级数的前面几项来寻找方程

的根。

目录

1
起源
2
方法说明
3
其它例子

3.1
第一个例子
3.2
第二个例子

起源

牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method
of Fluxions，1671年完成，在牛顿死后的1736年公开发表）。约瑟夫·拉弗森也曾于1690年在Analysis
Aequationum中提出此方法。

方法说明

蓝线表示方程f而红线表示切线. 可以看出xn+1比xn更靠近f所要求的根x.

首先，选择一个接近函数

零点的

，计算相应的

和切线斜率

（这里

表示函数

的导数）。然后我们计算穿过点

并且斜率为

的直线和

轴的交点的

坐标，也就是求如下方程的解：



我们将新求得的点的

坐标命名为

，通常

会比

更接近方程

的解。因此我们现在可以利用

开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：



已经证明，如果

是连续的，并且待求的零点

是孤立的，那么在零点

周围存在一个区域，只要初始值

位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。
并且，如果

不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

其它例子

第一个例子

求方程f(x) = cos(x) − x3的根。两边求导，得f '(x) = −sin(x) − 3x2。由于-1 ≤ cos(x) ≤ 1（对于所有x），则-1 ≤
x3 ≤ 1,即-1 ≤ x ≤ 1，可知方程的根位于0和1之间。我们从x0 = 0.5开始。

第二个例子

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能。

求a的m次方根。


- a= 0

设

，


而a的m次方根，亦是x的解，

以牛顿法来迭代：







(或

)