C/C++辗转相除法 --- 求两个数的最大公约数和最小公倍数

在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题yⅠ和Ⅱ）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。

两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 / 105 = 2余42，所以105和42的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至余数变为零。这时的除数就是所求的两个数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21
= 5 × 105 + （−2） × 252。这个重要的等式叫做贝祖等式。

辗转相除法最早出现在欧几里得的几何原本中（大约公元前300年），所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。这个算法原先只用来处理自然数，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数，如高斯整数和一元多项式。自此，现代抽象代数概念如欧几里得整环开始出现。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。

辗转相除法有很多应用，它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏。在现代密码学方面，它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分。它还被用来解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域的倒数。辗转相除法还可以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。辗转相除法是现代数论中的基本工具。

辗转相除法处理大数时非常高效，它需要的步骤不会超过较小数的位数（十进制下）的五倍。加百利·拉梅(Gabriel Lamé)于1844年证明了这点，开创了计算复杂性理论。

简单的想法

设两数为a、b(a>b），求a和b最大公约数(a，b）的步骤如下：用b除a，得a÷b=q......r1(0≤r1）。若r1=0，则（a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为（a，b）。

原理

设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。

证毕。

自然语言描述


 
输出b
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则

gcd(a,b) = gcd(b,r)

2. a 和其倍数之最大公因子为 a。

另一种写法是：

1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r<b）

若 r = 0，算法结束；b 即为答案。

2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步

伪代码

这个算法可以用递归写成如下：

function gcd(a,b) {

if b<>0

return gcd(b,a mod b);

else

return a；

}

C语言实现

/*题目：输入两个正整数，求其最大公约数。*/

#include <stdio.h>

unsigned gcd ( unsigned,unsigned ) ;

int main( void )

{

unsigned m,n;

printf("请输入两个正整数：");

scanf("%u%u",&m,&n);

printf("%u与%u的最大公约数为：%u\n",m,n,gcd ( m,n ) );

return 0;

}

/* 功能：返回正整数m和n的最大公约数*/

unsigned gcd ( unsigned m,unsigned n )

{

if (m<n)

{

int temp=m;

m=n;

n=temp;

}

       if ( m % n == 0) {

     
return n;

}else{

       
return gcd ( n,m % n) ;

}

}

Basic实现

INPUT m,n

DO

r=mMODn

m=n

n=r

LOOP UNTILr=0

PRINT m

END

Pascal实现

function gcd(a,b:integer):integer;

begin

if b=0 then gcd:=a

else gcd:=gcd (b,a mod b);

end ;

Common Lisp实现

(defun my-gcd (number-a number-b)

(do ((r (mod number-a number-b) (mod ea eb))(eb number-b r) (ea number-aeb))

((= 0 r) eb)))

Java 实现

/**

*

* @return int

* @tags @param m

* @tags @param n

* @tags @return

* @todo 【方法二】利用辗除法

*/

public static int gcd(int m, int n) {

while (true) {

if ((m = m % n) == 0)

return n;

if ((n = n % m) == 0)

return m;

}

}

数据举例

其中“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数。

例如，123456 和 7890 的最大公因子是 6，这可由下列步骤看出：

a	b	a mod b
123456	7890	5106
7890	5106	2784
5106	2784	2322
2784	2322	462
2322	462	12
462	12	6
12	6	0

时间复杂度

辗转相除法的运算速度为 O(n2），其中 n 为输入数值的位数。

编辑本段其他

辗转相除法可以求出不定方程的一组整数解。

设不定方程为a x+b y=c，其中a,b,c为整数且lcm(a,b)|c　b=q（1） a+r（2）

a=q（2） r（2）+r（3）

a,b辗转相除的算式为

r（2）=q（3） r（3）+r（4）

...

r(n-2）=q(n-1）r(n-1）+r(n)

r(n-1）=q(n)r(n)

其中r(n）为lcm(a,b），不妨令b=r(0），a=r（1），r(n+1）=0

第i个算式为

r(i-1）=q(i)r(i)+r(i+1）

所以r(i+1）=r(i-1）-q(i)(ri) (*)

用公式（*）可以得到r(n)=lcm(a,b）关于a,b的线性组合sa+tb=lcm(a,b)

所以不定方程a x+b y=c的一组特解为x=sc/lcm(a,b)        y=tc/lcm(a,b)

编辑本段例如

不定方程为326x+78y=4 求（326,78）的算式为：

326=4*78+14 14=326-4*78

78=5*14+8 8=78-5*14

14=1*8+6 6=14-1*8

8=1*6+2 2=8-1*6

6=3*2

所以

2=8-6=8-（14-8）

=2*8-14=2*（78-5*14）-14

=2*78-11*14=2*78-11*（326-4*78）

=46*78-11*326

即2=(-11）*326+46*78

所以4=(-22）*326+92*78

所以x=-22,y=92是不定方程326x+78y=4的一组特解（注：q(i），r(i），括号中的是下标，lcm是求最小公倍数）

C++实现：

#include <iostream>

using namespace std;

int gcd(int n, int m) {

   
if(n < m) {

int temp = n;

n = m;

m = temp;

}

if(n % m == 0) {

return m;

}else {

return gcd(m, n%m);    //递归过程

}

}

int main() {

int n, m;

while(cin>>n>>m) {

cout<<gcd(n, m)<<endl;

}

}